Шкала отношений

• На множестве эмпирических объектов определены:

– отношения сходства и различия и порядка на основании проявления изучаемого свойства;

– операция, позволяющая устанавливать равные отношения (пропорции, равную повторяемость «мерки») между парами различных объектов.

• При приписывании чисел объектам должны сохраняться отношения (правила номинативной и порядковой шкал) и операция:

– равные отношения между объектами соответствуют равным отношениям между шкальными значениями.

• Допустимы изменения используемых чисел, которые можно выразить преобразованием подобия – функцией вида f(x) = kx (k >0).

• Примеры измерений физических величин:

– длина;

– масса;

– сила;

– температура по Кельвину;

продолжительность временного интервала

• В психологии может быть использована крайне редко, так как для психологических свойств чаще всего невозможно определить состояние «естественного нуля» как точки исчезновения признака

• Возможный пример:

– компетентность в конкретной области

– 15вопрос

Квантиль – число, которое делит упорядоченный ряд данных в определенной пропорции.

Квартиль – один из трех квантилей, которые делят ряд на 4 части в отношениях 1:3, 1:1, 3:1. Обозначаются соответственно Q₁, Q₂, Q₃.

Дециль ­– один из 9 квантилей, которые делят ряд на 10 частей. Обозначаются D₁, D₂, … D₉.

Процентиль – один из 99 квантилей, которые делят ряд данных на 100 частей. Обозначаются: P₁, P₂, P₃, … P₉₉.

Соотношение децилей и процентилей: D₁=P₁₀, D₂=P₂₀, … D₉=P₉₀.

Соотношение квартилей и процентилей:: Q₁=P₂₅, Q₂=P₅₀, Q₃=P₇₅.

Меры средней (центральной) тенденции

Показывают наиболее общую, типичную с какой-либо точки зрения, т.е. среднюю или центральную тенденцию, характеризующую всю выборку в целом.

• Мода (Mo) – наиболее часто встречающееся значение признака, т.е. значение (или интервал группировки), частота которого максимальна.

– Если наибольшая частота характерна для двух смежных значений, модой считается среднее арифметическое этих значений.

– Если наибольшая частота характерна для двух несмежных значений, модами считаются оба эти значения, а распределение – бимодальным.

– Если наибольшая частота характерна для трех и более несмежных значений, принято считать, что распределение является полимодальным или не имеет моды. В статистических пакетах для бимодального или полимодального распределения может быть показано какое-то одно (например, наименьшее) значение моды.

Медиана (Me, Md) – такое значение в ряду данных, что половина всех значений большего него, а половина – меньше; значение, которое делит ряд данных пополам. Md = Q₂ = D₅ = P₅₀. Имеет смысл для данных, измеренных в шкале, начиная с порядковой.

• Определение медианы по несгруппированным данным:

– Упорядочить значения выборки по возрастанию – переписать их, начиная с наименьшего. Пронумеровать полученный ряд – наименьшему значению присвоить номер 1, следующему – 2, и т.д. Последнее значение в ряду (являющееся максимальным), должно получить номер, равный объему выборки (N).

– Если объем выборки является нечетным числом, следует найти значение, которое располагается в ряду данных под номером (N+2)/2. Это значение является медианой.

– Если объем выборки является четным числом, следует найти два значения, которые располагаются в ряду данных под номерами N/2 и (N/2)+1. Медианой является среднее арифметическое этих значений (рассчитывать среднее надо только в том случае, если найденные значения не совпадают).

• Для нахождения медианы по сгруппированным данным следует воспользоваться значениями накопленных частот таблицы распределения.

• Среднее арифметическое (, M_x) – значение, которое обладает таким свойством, что сумма отклонений всех значений ряда от него равна 0; сумма всех значений, деленная их количество (т.е. на объем выборки). Нахождение для несгруппированных данных:

– где N – объем выборки, x_i – «пробегает» все значения в выборке.

– Если уже построена таблица распределения, для нахождения среднего арифметического следует предварительно найти произведения каждого неповторяющегося значения на соответствующую ему частоту, затем сложить эти произведения – получим сумму всех значений исходного ряда данных:

где N – объем выборки, k – число разрядов, т.е. неповторяющихся значений в таблице распределения, x_i – «пробегает» все неповторяющиеся значения, n_i – соответствующее каждому x_i значение частоты.

Вопрос

Меры варитивности

• Показывают разброс, т.е. вариативность, изменчивость значений в выборке. В сочетании с мерами средней тенденции являются достаточно информативными для описания распределения в целом.

• Размах вариации (R) – расстояние (разность) между максимальным и минимальным значением в выборке; широта диапазона в котором варьируют значения. Расчет:

– R = x_max – x_min ,

– где x_max и x_min – соответственно максимальное и минимальное значения в выборке.

• Полумежквартильный размах (Q) – половина расстояния между первым и третьим квартилями. Для порядковых данных является более адекватной мерой, чем рассмотренные далее дисперсия и стандартное отклонение. Расчет:

– где Q₁, Q₃ – первый и третий квартили соответственно.

• Дисперсия (S²) – средний квадрат отклонений от среднего арифметического. Одна из основных мер вариативности, используемая во многих методах статистического анализа. Расчет для негруппированных данных:

– где N – объем выборки, – среднее арифметическое, x_i – «пробегает» все значения в выборке.

• Если уже построена таблица распределения, аналогично среднему арифметическому расчет может выполняться по формуле:

– где N – объем выборки, – среднее арифметическое, k – число разрядов, т.е. неповторяющихся значений в таблице распределения, x_i – «пробегает» все неповторяющиеся значения, n_i – соответствующее каждому x_i значение частоты.

• Стандартное отклонение (S или s) ­– положительный квадратный корень из дисперсии. В отличие от дисперсии выражается в тех же единицах измерения, что и исходные данные, поэтому чаще используется для оценки широты разброса значений на оси данных. Расчет: S=корень S в кВ.

– где S² – дисперсия.

Вопрос

• Направление корреляции показывает характер взаимосвязи. По направлению выделяют прямую и обратную корреляции.

– Прямая или положительная корреляция отражает взаимосвязь, при которой высоким значениям первого признака чаще соответствуют высокие значения другого признака, а низким – низкие. r > 0.

– Обратная или отрицательная корреляция отражает взаимосвязь, при которой высоким значениям первого признака чаще соответствуют низкие значения другого признака, и наоборот. r < 0.

– Два признака являются независимыми, если все сочетания значений первого и второго признаков являются равновероятными, т.е. встречаются примерно одинаково часто.
r» 0.

• Сила или теснота корреляции (взаимосвязи) показывает насколько явно выражена взаимосвязь. Чем ближе значение коэффициента корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее взаимосвязь.

• Форма корреляции отражает вдоль какой линии группируются точки (объекты выборки) на диаграмме рассеяния. При линейной корреляции точки, соответствующие объектам выборки располагаются близко к прямой линии, при нелинейной – группируются вокруг какой-либо кривой.

Коэффициент линейной корреляции Пирсона используется для интервальных данных,

• Коэффициент ранговой корреляции Спирмена является частным случаем коэффициента линейной корреляции Пирсона,