Исследование функций и построение графиков

(общая схема исследования)

1) Находим область определения функции.

2) Находим точки разрыва функции (если они существуют) и определяем род точек разрыва.

3) Определяем, является ли функция четной, нечетной, общего вида, периодической.

4) Находим точки пересечения графика функции с осями координат () и интервалы знакопостоянства функции.

5) Находим асимптоты графика функции.

Определение.

Прямая называется асимптотой некоторой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю (рис. 1).

y

асимптота

x

рис. 1

а) Вертикальные асимптоты: , где точка ─ точка разрыва второго рода.

б) Наклонные асимптоты: , где .

Частный случай: ─ горизонтальная асимптота.

6) Находим точки экстремума функции и интервалы возрастания, убывания.

Пусть функция непрерывна во всех точках отрезка и дифференцируема всюду на интервале .

Если на , то возрастает (убывает) на отрезке .

Определение.

Функция имеет максимум (max) в точке , если можно найти такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Определение.

Функция имеет минимум (min) в точке , если можно найти такую окрестность точки , что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство .

Max и min функции называют экстремумами (от лат. крайний).

Функция может иметь экстремум либо в тех точках, где производная существует и равна нулю , либо в тех точках, где производная не существует .

Те точки, в которых или , называют критическими точками.

Если точка ─ точка max (рис. 2)

Если точка ─ точка min (рис. 3)

рис. 2 рис. 3

7) Находим интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

График функции выпуклый вверх в некоторой окрестности точки , если в этой окрестности он расположен под касательной к графику функции в точке (рис. 4).

График функции выпуклый вниз в некоторой окрестности точки , если в этой окрестности он расположен над касательной к графику функции в точке (рис. 5).

рис. 4 рис. 5

Если во всех точках интервала , то кривая на этом интервале выпукла вверх (выпукла вниз).

Точки графика, в которых меняется направление выпуклости- вогнутости, называются точками перегиба.

Если или и при переходе через значение меняет знак, то точка ─ точка перегиба.

8) Если после проведенного исследования полученных данных недостаточно для построения графика, необходимо найти несколько дополнительных точек.

				...
				...