Примеры задач

1. Пусть функция спроса имеет вид , а функция предложения Найти эластичность спроса в точке рыночного равновесия. Эластичен ли спрос в этой точке?

2. Пусть - функция полных затрат на производство единиц товара, - функция дохода от продажи. Найти максимум прибыли.

3. В каком отношении распределится бремя дополнительного налога между потребителем и производителем, если , а величина дополнительного налога мала по сравнению с равновесной ценой?

4. Найти изменение равновесной цены при введении дополнительного налога на единицу продукции, если , .

5. Пусть - доход (выручка) от продажи, а - затраты на выпуск продукта в зависимости от количества . Найти величину дополнительного налога на каждую единицу продукта, чтобы налог от всей реализуемой продукции был максимальным, и весь налоговый сбор. Как уменьшится количество выпускаемой продукции?

6. Для товаров и известны функции спроса: , . Фирма-монополист имеет функцию издержек . Вычислите максимальную прибыль фирмы в этих условиях и найдите соответствующий производственный план.

7. Для функции полезности выяснить, являются ли наборы товаров а) , б) , самыми полезными из всех наборов, имеющих равную с ними стоимость, если ; .

8. Для функции полезности Кобба–Дугласа проверьте, будут ли наборы товаров: а) , б) самыми дешевыми среди всех наборов, имеющих равные с ними уровни полезности, если стоимости этих товаров составляют ; .

9. Дана производственная функция CES цена выпускаемой продукции , . Обеспечат ли планы: а) , б) наибольший выпуск производства при фиксированных издержках?

10. Дана производственная функция CES , цена выпускаемой продукции , . Позволят ли планы: а) , б) минимизировать издержки при заданном объеме производства?

11. Пусть предприятие имеет в своем распоряжении ресурсы трех видов R₁, R₂, R₃ в количествах b₁, b₂, b₃, соответственно. Выпускает оно два вида товаров T₁, T₂. Причем товара вида T₁ предприятие может выпускать не более 1 единицы. Запасы ресурсов и число единиц ресурсов, необходимых на производство товаров, приведены в таблице. Доход, получаемый от единицы каждого вида товара, c₁, c₂. Составить план производства продукции, при котором прибыль от ее продажи будет максимальной. Найти эту прибыль.

12. Дана задача линейного программирования

Пусть известно оптимальное решение , . Найти двойственную задачу и ее решение без использования симплекс-метода.

13. Для заданной транспортной задачи (открытая модель) найти оптимальный план и стоимость перевозок.

14. Пусть в транспортной задаче перевозки от к и от к временно запрещены. Найти оптимальный план и стоимость перевозок.

15. Пусть в транспортной задаче от к необходимо перевезти ровно 40 ед., от к не менее 50 ед., от к - не более 20 ед. Найти оптимальный план и стоимость перевозок.

16. Решить задачу целочисленного программирования с целевой функцией и ограничениями: .

a) Графическим способом; б) Методом Гомори; в) Дать геометрическую интерпретацию введения дополнительного ограничения.

17. Решить задачу линейного программирования , используя метод искусственного базиса.

18. Найти Парето-оптимальную границу задачи

19. Найти компромиссное решение задачи № 18 методом идеальной точки.

20. Найти компромиссное решение задачи № 18 методом обощенного критерия с соответствующими весами равными 0,5; 0,5

21. Найти компромиссное решение задачи № 23 приоритетов.

22. Решить задачу линейного программирования, используя двойственный симплекс-метод

23. Найти Парето-оптимальную границу в задаче

24. Для выпуска двух видов продукции используются два вида ресурсов. Известны - матрица норм расхода сырья, - цены на ресурсы, - цена реализации, - запасы ресурсов. Найти Парето-оптимальную границу в задаче максимизации прибыли и выручки.

25. Рекламное агентство, в штате которого 15 человек, получило заказ на рекламу нового продукта на радио и ТВ. Основные данные об аудитории, стоимости рекламы и количестве занятых ее изготовлением агентов занесены в таблицу

Рекламное агентство решает задачу о максимизации возможной аудитории и минимизации издержек на изготовление рекламы при условии, что контракт запрещает использовать более 6 минут рекламы на радио. Найти Парето-оптимальную границу.

26. Найдите решение игры с платежной матрицей в чистых стратегиях.

27. Для игры, заданной матрицей составить взаимно-двойственные задачи для I и II игроков. Как связаны их оптимальные решения и цена игры?

28. Найти решение игры (оптимальные стратегии игроков, цену игры), заданной платежной матрицей .

29. Найти оптимальное поведение игрока, используя критерии оптимальности Вальда, максимума, Гурвица (), Сэвиджа, Лапласа.

30. Найти оптимальное поведение игрока, используя критерии оптимальности Вальда, максимума, Гурвица (), Сэвиджа, Лапласа.

31. Планируется работа двух предприятий на 4 года. Начальные ресурсы равны . Средства , вложенные в 1-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль , и возвращаются в размере . Средства , вложенные в 2-е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль и возвращаются в размере . В конце года возвращенные средства заново перераспределяются между отраслями. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

32. Планируется работа трех предприятий на 1 год. Начальные средства равны тыс. у.е., а вложения кратны 1 тыс. у.е. При этом тыс. у.е., вложенные в -е предприятие в начале года, дают в конце года прибыль , где функции заданы таблицей. Определить оптимальный план распределения средств и найти максимальную прибыль.

33. Даны производственная функция Кобба-Дугласа и цены на ресурсы , . С помощью теоремы Куна-Таккера найдите объемы ресурсов и , при которых затраты на производство не менее единиц продукции минимальны.

34. Фирма, производящая продукцию на двух заводах, решила выпускать в месяц не менее 180 ед. продукции при наименьших суммарных затратах. Сколько продукции ежемесячно целесообразно выпускать на каждом заводе, если затраты на выпуск ед. продукции в месяц на первом заводе равны , а на втором заводе .

Ответы к задачам

1. , . Спрос эластичен.

2. .

3. , .

4. ,

5. , , , .

6. , .

7. набор - оптимален.

8. набор - оптимален.

9. набор - оптимален.

10. набор - оптимален.

11. x^*=(1;2), z^*=35

12. решение двойственной задачи найдено , .

13. , .

14. или , .

15. , .

16. , .

17.

18. Отрезок .

19. .

20. а), б)

21.

22.

23. Отрезок

24. Отрезок .

25. Ломаная , где .

26. . Для I игрока – 1-я стратегия, а для II – 3-я стратегия.

27. I игрок II игрок

Если , - оптимальные решения задач (I) и (II), то цена игры и оптимальные стратегии игроков .

28.

29. критерий Вальда, максимума, Гурвица, Сэвиджа, Лапсаса: стратегия 4.

30. критерий Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Лапсаса: стратегия 3; критерий максимума: стратегия 2 или 3.

31.

32. , .

33. ,

34. I завод – 60, II завод – 120.