Решение. Так как каждый из школьников (кроме Вани) занял место хуже, чем ожидал, то первое место не занял никто из них

Так как каждый из школьников (кроме Вани) занял место хуже, чем ожидал, то первое место не занял никто из них. Следовательно, первое место занял Ваня.

Ответ

Первое место.

7. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a ² + 2 cd + b ² и c ² + 2 ab + d ² являются полными квадратами.

Решение

Достаточно найти такие числа, что ab = cd. Тогда a ² + 2 cd + b ² = a ² + 2ab + b ² = (a + b)², c ² + 2 ab + d ² = (c + d)². Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух множителей различными способами. Например, 6 = 1·6 = 2·3.

Ответ

Например, a = 1, b = 6, c = 2, d = 3.

8. Гриб называется плохим, если в нем не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

Решение

Пусть в каждом плохом грибе ровно 10 червей, а в хорошем червей нет. Далее, пусть из каждого плохого гриба по одному червю переползут в хорошие, по 9 в каждый. В результате в каждом грибе окажется по 9 червей, и все грибы будут хорошими.

Ответ

Могут.

9. В Совершенном городе шесть площадей. Каждая площадь соединена прямыми улицами ровно с тремя другими площадями. Никакие две улицы в городе не пересекаются. Из трёх улиц, отходящих от каждой площади, одна проходит внутри угла, образованного двумя другими. Начертите возможный план такого города.

Решение

Например:

10. Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что a ³ + b ³ + c ³ + d ³ = 100¹⁰⁰?

Решение

Например

(100³³)³ + (2·100³³)³ + (3·100³³)³ + (4·100³³)³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³)· 100⁹⁹ = 100·100⁹⁹ = 100¹⁰⁰.

Ответ

Существуют.

11. При каких значениях параметра a один из корней уравнения x ² – ¹⁵/₄ x + a ³ = 0 является квадратом другого?