Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Вращение в пространствеРаспространим математическое описание вращения, понятие момента количества движения, момента силы и т.д. на трехмерное пространство. xFy - yFx так и остается моментом силы относительно оси z (плоскость вращения ху) и он равен скорости изменения момента импульса (xpy - ypx) относительно оси z: ось z Аналогично можно получить для оси х (плоскость вращения yz): ось х Для оси у (плоскость вращения zx): ось у Таким образом, имеются законы о том, что внешний момент сил в некоторой плоскости равен скорости изменения углового момента в этой плоскости. А если повернуть оси, например, в плоскости х, у. Новые координаты назовем х /, у /. Новый момент сил в этой плоскости . Найдем связь между новыми и старыми моментами. Это похоже на манипуляции с векторами. - Да. А не вектор ли момент сил? - Да. Докажем это. Пусть ось z останется той же. Поворачиваем х и у на угол q. Законы преобразования координат мы рассматривали раньше: Поскольку сила является вектором, закон преобразования ее компонент такой же:
Подставляем уравнения преобразования координат и силы в выражения для моментов силы (промежуточные преобразования опускаем): Можно увидеть связь между законами преобразования моментов силы и законами преобразования координат. Если назвать Nxy z -компонентой Nz вектора N, аналогично, если связать плоскость yz с х -компонентой новоиспеченного вектора N, а плоскость zx с у -компонентой, то закон преобразования будет выглядеть так: что в точности соответствует закону преобразования векторов. Следовательно, доказано, что комбинацию xFy - yFx можно отождествить с тем, что обычно называется z -компонентой некоторого искусственно введенного вектора. Хотя момент сил является своего рода «кручением» в плоскости и, казалось бы, не имеет векторного характера, математически он все-таки ведет себя как вектор. Этот вектор направлен под прямым углом к плоскости кручения, а его длина пропорциональна силе кручения. Три компоненты такой величины будут преобразовываться при вращении системы координат как самый настоящий вектор. Итак, мы представляем момент силы в виде вектора. Согласно правилу, с каждой плоскостью, в которой он действует, мы связываем прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Однако перпендикулярность к плоскости оставляет неопределенный знак вектора. Чтобы определить его, необходимо еще одно дополнительное правило, которое говорило бы нам, что если момент силы действует определенным образом в плоскости ху, то соответствующий ему вектор направлен «вверх» по оси z. Предположим, что система координат хуz правосторонняя (если вращать ось х по направлению к оси у, то направление, связанного с таким вращением, поступательного движения винта с правовинтовой резьбой, укажет положительное направление оси z). Тогда правило должно быть таким: если представить себе кручение, как ввертывание болта с правовинтовой резьбой, то направление вектора, связанного с этим кручением, определяется поступательным движением болта.
Векторное произведение
В предыдущих рассуждениях совершенно несущественно, что х - координата, F -сила, а существенным является закон преобразования векторов. Значит, например, (axby - aybx) можно связать с z -компонентой какого-то вектора с и т.д. Можно придумать для такой связи название и обозначение: векторное произведение с = а ´ b = [ a, b ], что расшифровывается: cx = aybz - azby cy = azbx - axbz cz = axby - aybx
Свойства векторного произведения
а ´ b = -b ´ a Отсюда: а ´ а = 0 Результатом векторного произведения есть вектор, который перпендикулярен обоим перемножаемым векторам: с ^ а, с ^ b. Доказательством является равенство нулю скалярных произведений с × а и с × b (скалярные произведения можно расписать как сумму произведений одноименных проекций векторов). Модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними: ÷ а ´ b ê= а b sina. Это правило легко доказывается путем вычисления результата векторного произведения через проекции векторов для простейшего частного случая: вектор а смотрит из начала координат в направлении оси х (аy и az = 0; ax = a), вектор b - расположен в плоскости ху (bz = 0). Поскольку результат векторного произведения не зависит от выбора системы координат (это свойство любого вектора, для этого они и придуманы), правило можно распространить на произвольную систему координат. Способ определения направления вектора, являющегося результатом векторного произведения: если вращать вектор а (первый из перемножаемых векторов) по направлению к вектору b (второй из перемножаемых векторов), то вектор c = а ´ b будет направлен в сторону поступательного движения, связанного с этим вращением, винта с правой резьбой. Это простая договоренность. Получается, что результатом векторного произведения является не совсем «честный» вектор. Такие вектора называются аксиальными, или псевдовекторами, в отличие от обычных полярных векторов. Аксиальные вектора хорошо передают свойства вращения. Приводим без доказательства сводку правил векторной алгебры: A×B =Скаляр=AxBx+AyBy+AzBz, A´B =Вектор, (A´B)z=AxBy-AyBx, (A´B)x=AyBz-AzBy, (A´B)y=AzBx-AxBz, A´A =0, A× (A´B)=0, A× (B´C)=(A´B) ×C, A´ (B´C)= B (A×C)- C (A×B)
|