Вращательное движение

4.1. Уравнение моментов для материальной точки.

Момент силы относительно начала O определяется как , где - радиус-вектор, проведенный из начала в точку приложения силы. Момент импульса относительно начала O определяется как . Изменение момента импульса материальной точки определяется суммарным моментом действующих на нее сил (уравнение моментов)

(4.1)

Моментом силы относительно оси называется проекция на эту ось момента силы относительно начала, лежащего на этой оси. Аналогичное определение справедливо для момента импульса относительно оси.

4.2. Уравнение моментов для системы тел. Закон сохранения момента импульса.

Моментом импульса системы материальных точек относительно начала O называется геометрическая сумма моментов точек относительно начала O. Изменение момента импульса системы определяется моментом внешних сил (уравнение моментов для системы материальных точек)

(4.2)

Момент импульса замкнутой системы сохраняется (независимо от начала). Для незамкнутой системы возможно сохранение момента относительно какого-либо определенного начала.

4.3. Преобразование моментов при смене начал и систем отсчета

Поскольку момент силы и момент импульса зависят от начала, необходимо знать правила их пересчета при смена начала. Для двух неподвижных начал O и O¢ (Рис. 4.1) имеем моменты сил и . Связь моментов дается формулой

(4.3)

где - суммарный момент внешних сил. Аналогично для момента импульса имеем

(4.4)

где - импульс системы. В частности, в Ц-системе момент импульса не зависит от начала, что позволяет говорить о собственном моменте импульса системы.

Рассмотрим переход из инерциальной системы отсчета К в инерциальную систему отсчета K', движущуюся относительно K cо скоростью (Рис. 4.2). Определим моменты импульса относительно начал O и O¢ как и , где скорости в обоих случаях определены относительно неподвижной системы K. Тогда изменение во времени момента определяется уравнением

(4.5)

где m – масса системы, - скорость ее центра масс. Для практически важного случая перехода в Ц-систему имеем

(4.6)

При этом результат не зависит от того, определены ли скорости относительно Ц-системы () или относительно неподвижной системы отсчета (). Отметим, что результат (4.6) справедлив и для случая, когда Ц-система не является инерциальной.

4.4. Вращение твердого тела вокруг закрепленной оси

Уравнение моментов для случая вращения вокруг закрепленной оси связывает проекции момента импульса L_z и момента M_z сил на соответствующую ось (эти проекции называются моментом импульса и моментом силы относительно оси):

(4.7)

Связь между L_z и угловой скоростью вращения дается выражением

(4.8)

где I – момент инерции относительно оси, определяемый как

(4.9)

где r_i – расстояние от i-й точки до оси. При непрерывном распределении масс сумма (4.9) заменяется интегралом. С учетом (4.8) уравнение моментов (4.7) преобразуется к виду

(4.10)

где - угловое ускорение.

Кинетическая энергия и работа момента сил при вращении относительно закрепленной оси определяются выражениями

(4.11)

(4.12)

где - угол поворота тела.

Моменты инерции для некоторых тел относительно осей, проходящих через центр масс тел, приведены в табл. 4.1.

Таблица 1. Главные моменты инерции для некоторых тел. Параметры тел (масса, радиус, длина) приведены в скобках.

Тело	Ось z	Iz
кольцо или полый цилиндр (m, R)
диск или сплошной цилиндр (m, R)
шар (m, R)
сфера (m, R)
стержень (m, L)

Момент инерции относительно оси, параллельной оси, проходящей через центр масс, вычисляется по теореме Гюйгенса-Штейнера

(4.13)

где I' – искомый момент инерции, I – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, m – масса тела, R – расстояние между осями.

4.5. Произвольное вращение твердого тела. Тензор инерции

Связь между векторами моментом импульса и угловой скорости вращения в общем случае имеет вид

(4.14)

или, в матричном виде

(4.15)

где - тензор инерции, определяемый как

(4.16)

где i – номер точки, по которым идет суммирование, - символ Кронекера, индексы a и b соответствуют декартовым координатам х, y, z. В случае непрерывного распределения масс вместо суммирования по точкам проводится интегрирование по объему тела V

(4.17)

где - плотность тела. В развернутом виде выражение для тензора инерции (4.16) имеет вид

(4.18)

Тензор инерции зависит от точки, относительно которой он рассчитан. Выделенную роль в механике играет тензор инерции относительно центра масс тела, именно такой случае рассматривается ниже.

Тензор инерции представляет собой симметричный тензор второго ранга. Он может быть приведен к диагональному виду (к главным осям) . I₁, I₂, I₃ – главные моменты инерции. Главные моменты инерции совпадают с осевыми моментами инерции относительно главных осей. Главные оси тензора инерции являются свободными осями вращения тела, т.е. тело сколько угодно может вращаться вокруг одной из главных осей без применения специальных приспособлений.

Вид тензора инерции в главных осях полностью определяет вращательные характеристики твердого тела. Классификация тел по виду тензора инерции:

- шаровой волчок;

- симметрический волчок;

- асимметрический волчок.

Для плоского тела (I₃ – момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости тела). Для линейного тела (ротатора) , (третья ось направлена вдоль тела).

В произвольном случае кинетическая энергия вращающегося тела рассчитывается по формуле

(4.19)

Если тензор инерции приведен к главным осям, то выражение (4.19) сводится к виду

(4.20)

При вращении вокруг одной из главных осей (z) получаем , т.е. такое же выражение, как при вращении вокруг закрепленной оси.

ЗАДАЧИ

1. На гладкое проволочное кольцо радиуса R, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка. Кольцо вращается с угловой скоростью w вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?

Ответ: a - угол между вертикалью и направлением на бусинку.

при g £ w²R; 0 при g ³ w²R

2. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходящей через его центр вертикальной оси с частотой n. На каком расстоянии r от центра диска может удержаться лежащее на нем небольшое тело, если коэффициент трения равен m?

Ответ:

3. Чтобы сдвинуть с места однородный прямоугольный ящик длиной L и высотой h, к верхнему ребру приложили силу F, параллельную поверхности. Каким должен быть коэффициент трения между ящиком и землей, чтобы ящик не опрокинулся?

Ответ:

4. Написать тензор инерции линейной молекулы CO₂ в главных осях. Расстояние С-О равно a.

Ответ: 2m₀a² – 2 раза и 0

5. Написать тензор инерции молекулы HCl в главных осях. Расстояние равно , .

Ответ: – 2 раза и 0

6. Написать тензор инерции тонкого обруча массы m, радиуса R в главных осях.

Ответ: ; ;

7. Написать (в главных осях) тензор инерции плоского диска массы m радиуса R₂. Диск имеет дырку радиуса R₁, центр которой совпадает с центром диска.

Ответ: ; ;

8. Написать в главных осях тензор инерции ‘полупустого’ шара радиуса R, массы m. Вещество расположено равномерно в слое радиуса , а при ничего нет.

Ответ:

9. Оси тонкостенного и сплошного цилиндров соединены невесомой штангой. Цилиндры скатываются без проскальзывания по наклонной плоскости с углом a. Радиусы цилиндров одинаковы, масса каждого из них равна m. Сплошной цилиндр находится внизу. Определить силу натяжения штанги.

Ответ:

10. Найти ускорение груза массы m₁. Блок представляет собой однородный цилиндр. Нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по блоку. Трения нигде нет.

	g

Ответ:

1. Проволочный равносторонний треугольник массы m со стороной a подвесили за вершину на гвоздь и удерживали так, что одна из его сторон находилась в вертикальном положении (см. рисунок). Определить угловое ускорение треугольника в момент времени, когда его отпустили.

Ответ:

1. Тонкий стержень длины L шарнирно закреплен в точке, находящейся на расстоянии L/4 от его левого конца. Стержень отпускают из горизонтального положения. Найти скорость центра масс в нижней точке. Трения в шарнире нет.

Ответ:

1. Два груза с массами m₁ и m₂, соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через закрепленный на оси подвижный блок, представляющий собой сплошной цилиндр маccы M и радиуса R. Найти ускорение грузов. Нить не проскальзывает по блоку.

Ответ:

1. Однородный стержень длины L и массы m шарнирно прикреплен одним концом к стене. К другому концу стержня привязана нить, которая перекинута через блок. Ко второму концу нити подвешен груз массы M. Система находится в поле тяжести. Первоначально стержень удерживают в горизонтальном положении, затем отпускают. Найти угловое ускорение стрежня в начальный момент времени. Блок и нить невесомы.

Ответ:

1. Однородный шар массы m скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости высоты H и углом у основания a. Найти ускорение центра масс шара и силу трения сцепления. При каком значении коэффициента трения m шар будет скатываться без проскальзывания? Чему равна скорость центра масс шара, скатившегося с горки?

Ответ: ; ; ;

1. Установленный строителями в понедельник столб высоты h упал от дуновения ветра. Найти скорость верхней точки столба в момент падения.

Ответ:

1. С двух одинаковых горок скатываются без проскальзывания полый и сплошной шары. Радиусы и массы шаров одинаковы. Найти отношение скоростей центров масс шаров у подножий горок.

Ответ:

1. Однородный цилиндр скатывается по склону с высоты h₀ без проскальзывания и поднимается на противоположный склон, где коэффициент трения равен нулю. На какую высоту поднимется цилиндр?

Ответ:

1. Вертикально натянутая между полом и потолком комнаты высоты H нить плотно обвивает сплошной однородный диск массы m радиуса R. При движении диска нить не проскальзывает по его поверхности, а ось диска сохраняет горизонтальное положение. За какое время диск достигнет пола, если его отпустить без начальной скорости из-под самого потолка комнаты?

Ответ:

1. При полете снаряда вращение его вокруг оси симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воздуха, равного kw, где w - угловая скорость вращения снаряда, k – постоянный коэффициент пропорциональности. Определить закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна w₀, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен J.

Ответ:

1. На гладком столе лежит стержень массы m₁ и длины L. К концу стержня прилипает пластилиновый шарик массы m₂, двигавшийся по столу со скоростью v₀ перпендикулярно стержню. Как будет двигаться стержень с прилипшим шариком после столкновения? Найти скорость центра масс системы и угловую скорость.

Ответ: ;

1. Однородный плоский диск массы m и радиуса R вращается с угловой скоростью w₀ на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Перпендикулярно плоскости диска на расстоянии R/2 от центра на диск со скоростью v падает пластилиновый шарик массы m и прилипает к диску. Найти выделившееся тепло. Прокомментировать случай . Размерами шарика пренебречь.

Ответ:

1. Однородный стержень массы M и длины L может вращаться вокруг закрепленной оси, перпендикулярной к нему и проходящей через его центр. В конец стержня попадает пуля массы m, летящая перпендикулярно к оси вращения и к стержню со скоростью v. Найти угловую скорость вращения стержня после удара, если а) пуля застревает в стержне; б) удар абсолютно упругий.

Ответ: а) ; б)

1. Однородный стержень массы M может вращаться вокруг закрепленной оси, перпендикулярной к нему и проходящей через его центр. В конец стержня попадает пуля массы m, летящая перпендикулярно к оси вращения и к стержню со скоростью v, и застревает в нем. Определить количество выделившейся при этом теплоты.

Ответ:

1. Сплошной цилиндр массы m и радиуса R раскрутили до угловой скорости w и поставили в угол. Коэффициенты трения материала цилиндра о стенки угла одинаковы и равны m. Сколько оборотов сделает цилиндр до остановки?

Ответ:

1. Небольшой шарик подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины L. Шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась от вертикали на угол a, и сообщили ему начальную скорость v₀, перпендикулярную вертикальной плоскости, в которой находится нить. При каком значении v₀ угол отклонения нити от вертикали окажется равным 90°?

Ответ:

1. Тонкий обруч массы m, радиуса R раскрутили до угловой скорости w₀ и поставили на поверхность. Коэффициент трения материала обруча о поверхность равен m. Через какое время t прекратится проскальзывание? Найти зависимости скорости центра масс v и угловой скорости обруча w от времени. Какая часть начальной энергии обруча a перейдет в тепло?

Ответ: ; при t £t; при t ³ t;

w(t) = при t £t; w₀/2 при t ³ t; a = 1/2

28. Алина Кабаева бросает в горизонтальном направлении обруч радиуса R так, что он движется по ковру, причем плоскость обруча во время движения остается вертикальной. Начальная скорость центра масс обруча равна v₀. Какую начальную угловую скорость вращения обруча вокруг его оси w₀ должна придать Алина Кабаева, чтобы обруч вернулся к ней со скоростью, равной начальной? Какая часть энергии обруча a перейдет в тепло?

Ответ: ; a= 4/5.

29. Неопытная художественная гимнастка сообщила обручу поступательную скорость v ₀, при этом раскрутив его до угловой скорости w₀ = v _0./R так, как показано на рисунке. Через какое время обруч несчастной гимнастки остановится (и вследствие этого упадет), если коэффициент т рения материала обруча о пол равен m?

Ответ:

30. С верхней точки покоящегося однородного шара массы m горизонтально прыгает кузнечик массы m со скоростью v ₀ относительно Земли. Через какое время шар начнет катиться без проскальзывания? Какой будет при этом скорость центра масс шара? Коэффициент трения материала шара о поверхность Земли равен m.

Ответ:

31. На однородный диск массы m намотана тонкая невесомая нить, за которую тянут строго вверх с постоянной силой F. Диск катится без проскальзывания. Найти ускорение центра масс диска, величину и направление силы трения. Определить, при какой величине силы F начнется проскальзывание, если коэффициент трения равен m.

Ответ: ; сила трения направлена по движению диска; ; проскальзывание начнется при

32. Тонкий однородный стержень, который может свободно вращаться вокруг одного из своих концов, подвешен в однородном поле тяжести. В той же точке подвеса на невесомой нерастяжимой нити подвешен маленький пластилиновый шарик, причем массы шарика и стержня и длины нити и стержня равны. Шарик на нити отклонили на угол p/3 от вертикали и отпустили. Найти максимальный угол отклонения слипшегося тела.

Ответ:

33. Горизонтально расположенный тонкий однородный стержень массы m подвешен за концы двух вертикальных нитей. Найти силу натяжения одной из нитей сразу после пережигания другой нити.

Ответ:

34. Однородный диск массы m подвешен в вертикальной плоскости за точки A и B на двух вертикальных нитях. Точки A и B находятся на окружности диска на одном и том же горизонтальном уровне, а дуга AB окружности опирается на угол 2a с вершиной в центре диска. Найти силу натяжения одной из нитей непосредственно сразу после обрыва другой нити.

Ответ:

35. Два однородных стержня одинаковой массы длины L и 2L соединены жестко в виде буквы “T”. Конструкцию подвешивают в поле тяжести за один из концов стержня длины L так, что она может свободно вращаться вокруг точки подвеса. Найти угол между этим стержнем и вертикалью, если конструкция неподвижна.

Ответ: 45°

36. Шар радиуса r скатывается по наклонному желобу и описывает «мертвую петлю» радиуса R. При какой минимальной высоте верхней точки желоба h это возможно?

Ответ:

37. Тонкий стержень длины a, массы m в центре жестко скреплен с осью вращения так, что ось проходит через центр стержня, а угол между осью и стержнем равен j. Стержень вращается вокруг оси с угловой скоростью w. Найти модуль момента импульса диска | L |. Какой угол a составляет этот вектор с осью вращения?

Ответ: | L | = ma²sinj/12; a = p/2-j

38. На цилиндр давит клин с углом a при основании, который может скользить вдоль плоскости AB. Коэффициенты трения цилиндра о стол и клин равны m. При каком значении m цилиндр сдвинется влево, вращаясь против часовой стрелки? Относительно горизонтальной плоскости цилиндр не проскальзывает.

Ответ:

39. На гладкой горизонтальной плоскости лежит однородный стержень длины L и массы m. В некоторый момент времени к концу стержня приложили постоянную по величине и направленную горизонтально силу F. В начальный момент времени сила перпендикулярна стержню. Найти угловую скорость стержня в момент времени, когда он развернется на 90°.

Ответ:

40. Однородный стержень длины L, вертикально стоявший на абсолютно гладком льду, после слабого дуновения ветра начинает падать на землю под действием силы тяжести. Определить линейную скорость верхнего конца стержня в момент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ:

42. Найти, при каком минимальном коэффициенте трения о пол палка длины 2L, опертая под углом 45° на край стола высоты L, не будет соскальзывать. Трением о стол пренебречь.

Ответ: