Прогнозирование методом Лагранжа

Сравнение рядов показателей деятельности предприятия

Показатель	Абсолютная величина показателя	Темпы роста, %	Абс. прирост показателя,
отчёт за 1 год, f (1)	отчёт за 2 год, f (2)	отчёт за 3 год, f (3)	план на 4 год	отчёт за 4 год, f (4)	к отчёту за 1 г.,	к отчёту за 2 г.,	к отчёту за 3 г.,	к плану на 4 г.,
НА	2,2	2,15	2,35	2,3	2,25	102,27	104,65	95,74	97,83	-0,05
Ф	6,4	6,35	6,25	6,7	6,5	101,56	102,36	104,00	97,01	-0,20
М	4,0	3,9	3,95	4,1	4,3	107,50	110,26	108,86	104,88	0,20
ЗП						120,69	104,48	102,94	109,38	300,00
П						98,78	99,08	99,38	98,48	-250,00

Расчёт для НА:

100 % * НАотчет 4-го/НАотчет 1-го=100* 2,25/2,2 = 102,27%

100 % * НАотчет 4-го/НАотчет 2-го= 100* 2,25/2,15= 104,65 %

100 % * НАотчет 4-го/НАотчет 3-го= 100* 2,25/2,35= 95,74

100 % * НАотчет 4-го/НАплан 4-го = 100* 2,25/2,3= 97,83

ΔM = НАотчет 4-го года — НАплан 4-го ­­­= 2,25 – 2,3 = - 0,05

Прогнозирование методом Лагранжа

Искомый полином в курсовой работе определяется для n = 4 (n — количество узлов интерполяции или лет, за которые имеются отчётные значения показателей) по формуле:

F (x) = L ₁(x) f (x ₁) + L ₂(x) f (x ₂) + L ₃(x) f (x ₃) + L ₄(x) f (x ₄),

где L ₁(x) = = – 0,17 ∙ x ³ + 1,5 ∙ x ² – 4,33 ∙ x + 4;

L ₂(x) = = 0,5 ∙ x ³ – 4 ∙ x ² + 9,5 ∙ x – 6;

L ₃(x) = = – 0,5 ∙ x ³ + 3,5 ∙ x ² – 7 ∙ x + 4;

L ₄(x) = = 0,17 ∙ x ³ – x ² + 1,83 ∙ x – 1.

Коэффициенты полинома определяются по формулам:

A ₀ = 4 ∙ f (1) – 6 ∙ f (2) + 4 ∙ f (3) – f (4);

A ₁ = – 4,33 ∙ f (1) + 9,5 ∙ f (2) – 7 ∙ f (3) + 1,83 ∙ f (4);

A ₂ = 1,5 ∙ f (1) – 4 ∙ f (2) + 3,5 ∙ f (3) – f (4);

A ₃ = – 0,17 ∙ f (1) + 0,5 ∙ f (2) – 0,5 ∙ f (3) + 0,17 ∙ f (4).

Формула для расчёта прогнозного значения показателя методом Лагранжа:

F (x) = A ₀ + A ₁ ∙ x + A ₂ ∙ x ² + A ₃ ∙ x ³.

Значение показателя за 5 год определяется по формуле:

F (5) = A ₀ + A ₁ ∙ 5 + A ₂ ∙ 25 + A ₃ ∙ 125.

Результат расчёта прогнозных значений показателей представлен в табл. 2.

Таблица 2

Расчёт прогнозных значений показателей на 5-ый год методом Лагранжа

Показатель	Коэффициенты полинома при степенях	F (5)	Абс. прирост прогноза к отчёту за 4 год, ΔM	Темпы роста прогноза, %,
A 0	А 1	A 2	A 3
НА	3,0500	-1,4335	0,6750	-0,0915	1,3200	-0,9300	58,67
Ф	6,0000	0,7580	-0,4250	0,0670	7,5400	1,0400	116,00
М	4,1000	-0,0510	-0,0750	0,0260	5,2200	0,9200	121,40
ЗП	1600,0000	1873,0000	-650,0000	77,0000	4340,0000	840,0000	124,00
П	16450,0000	-141,0000	50,0000	-9,0000	15870,0000	-280,0000	98,27

Расчёт для НА:

A ₀ = 4 * 2,2 – 6 * 2,15 + 4 * 2,35 – 1 * 2,25 = 3,05

A ₁ = 4,33 * 2,2+ 9,5 * 2,15 — 7 * 2,35 + 1,83 * 2,25 = -1,4335

A ₂ = 1,5 * 2,2 – 4 * 2,15 + 3,5 * 2,35 – 2,25 = 0,675

A ₃ = -0,17 * 2,2 + 0,5 * 2,15– 0,5 * 2,35 + 0,17 * 2,25= -0,0915

F (5) = A ₀ + A ₁ ∙ 5 + A ₂ ∙ 25 + A ₃ ∙ 125 = 3,05 -1,4335 *5 + 0,675 *25 - 0,0915 * 125 = 1,32

ΔM = F (5) – f (4) = 1,32-2,25= -0,93

∙ 100 % = 100 * 1,32/2,25 = 58,67%

1.5. Прогнозирование показателей полиномом первой степени с использованием метода “наименьших квадратов”

Для определения искомого полинома F (x)необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными, где в качестве неизвестных выступают искомые коэффициенты полинома первой степени:

(x ₁ + x ₂ + … + x_n) A ₁ + n · A ₀ = f (x ₁) + f (x ₂) + … + f (x_n)

(x ₁² + x ₂² + … + x_n ²) A ₁ + (x ₁ + x ₂ + … + x_n) A ₀ = x ₁ f (x ₁) + x ₂ f (x ₂) + … + x_n f (x_n)

В данной курсовой работе n = 4, а x_i = i, где i — год, за который имеется отчётное значение показателя. Поэтому система будет выглядеть следующим образом:

(1 + 2 + 3 + 4) A ₁ + 4 A ₀ = f (1) + f (2) + f (3) + f (4)

(1² + 2² + 3² + 4²) A ₁ + (1 + 2 + 3 + 4) A ₀ = 1 f (1) + 2 f (2) + 3 f (3) + 4 f (4)

После преобразования получаем систему уравнений:

10 A ₁ + 4 A ₀ = f (1) + f (2) + f (3) + f (4)

30 A ₁ + 10 A ₀ = f (1) + 2 f (2) + 3 f (3) + 4 f (4)

Решив эту систему уравнений, получаем:

A ₀ = f (1) + 0,5 · f (2) – 0,5 · f (4);

A ₁ = – 0,3 · f (1) – 0,1 · f (2) + 0,1 · f (3) + 0,3· f (4).

F (x) = A ₀ + A ₁ · x.

F (5) = A ₀ + A ₁ · 5.

Используя полученные формулы, рассчитываем показатели, приведённые в табл. 3.

Таблица 3

Прогнозирование показателей с использованием метода “наименьших квадратов”

Показатель	Коэффициенты полинома при степенях	F (5)	Абсолютный прирост прогноза к отчёту за 4 год (ΔM)	Темпы роста прогноза, % ()
A 0	A 1
НА	2,150	0,035	2,325	0,075	103,33
Ф	6,325	0,020	6,425	-0,075	98,85
М	3,800	0,095	4,275	-0,025	99,42
ЗП	2825,000	185,000	3750,000	250,000	107,14
П	16425,000	-65,000	16100,000	-50,000	99,69

Расчёт для НА:

A ₀ = 2,2 + 0,5 * 2,15 - 0,5 * 2,25 = 2,15

A ₁ = -0,3 * 2,2 - 0,1 * 2,15+ 0,1 * 2,35 + 0,3 * 2,25 = 0,035

F (5) = 2,15+ 0,035*5=2,325

ΔM = F (5) – f (4) = 2,325- 2,25= 0,075

= 100 * 2,325/2,25 = 103,33%