Предел функции комплексного переменного

Функции комплексного переменного

Говорят, что в области D определена функция w=f(z), если каждой точке z принадлежащей области D поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений w. Таким образом, функцияw=f(z) осуществляет отображение точек комплексной плоскости z на соответствующие точки комплексной плоскости w.
Пусть z=x+iy и w=u+iv. Тогда зависимость w=f(z) между комплексной функцией w и комплекснойпеременной z может быть описана с помощью двух действительных функций u и v действительных переменных x и y, u=u(x,y), v=v(x,y).

Определение. Соответствие, при котором каждому из элементов множества Xсопоставялется единственный элемент из множества Y, называется отображением.

Обозначение отображения из множества X в множество Y: X⟶fY.

Множество X называется областью определения отображения и обозначается X=D(f).

E(f) называется множеством значений отображения, и E(f)={y∈Y|∃x∈X,y=f(x)}.

Множество Γ(f) называется графиком отображения. Γ(f)={(x,y)∈X×Y,y=f(x),∀x∈X,y∈Y}.

Пусть f - некоторое отображение из множества X в множество Y. Если x при этом отображении сопоставляется y, то y=f(x). При этом y называется образом x, или значением отображения f в точке x. А x, соответственно, прообразом элемента y.

Исходя из определения отображения, видно, что не требуется, чтобы все элементы в множестве Y являлись образами какого-либо x и при том единственного.

Предел функции комплексного переменного

Число называется пределом функции в точке , если для любого числа найдется число такое, что для , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

для .

Геометрически это означает, что для точек из проколотой δ-окрестности точки соответствующие значения функции принадлежат ε-окрестности точки .

Напомним, что окрестность точки на комплексной плоскости — это круг с центром в этой точке. Так, или есть круг радиуса с центром в точке , а проколотая окрестность точки или , или — круг радиуса с центром в точке за исключением точки .

Если записать числа в алгебраической форме, то нетрудно доказать справедливость следующего утверждения.

Непрерывность в точке функции комплексного переменного

Функция комплексного переменного называется непрерывной в точке , если бесконечно малому приращению аргумента в точке соответствует бесконечно малое в этой точке приращение функции, т.е.

Это эквивалентно следующему определению: функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен ее значению в этой точке, т.е.

Так как понятие непрерывности определяется через понятие предела, то, учитывая сформулированный выше критерий существования предела функции (утверждение 2.3), нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения.

Утверждение 2.4 (необходимое и достаточное условие непрерывности функции в точке). Для того чтобы функция была непрерывна в точке , необходимо и достаточно, чтобы в точке были непрерывны функции

, где .

Функция, непрерывная в каждой точке области , называется непрерывной в этой области.

Однолистность -- это взаимная однозначность. Для областью однолистности будет, например, верхняя полуплоскость.
В общем, в такой области должно быть если . То есть вместе с она не должна содержать .

Пример 2.7. Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция , очевидно, непрерывна во всей комплексной плоскости. Поэтому непрерывными во всей плоскости являются функции при любом , согласно свойству непрерывности произведения.

Область -- множество точек комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим двум условиям:

1) Все точки этого множества внутренние

2) Любые 2 точки этого множества можно соединить ломаной, лежащей в этой области

Область будем обозначать

-- область с границей, замкнутая область

2) Область называется односвязной, если она удовлетворяет следующему условию: какую бы замкнутую непрерывную кривую в этой области мы не взяли, часть плоскости, внутренняя по отношению кривой, такжу принадлежит этой области

Проще говоря, односвязная область -- область без дыр

3) На комплексной плоскости задана функция , если указано правило, по которому каждому ставится одно или несколько значений . В первом случае функция однозначная, во втором -- многозначная

-- однозначная

-- многозначная ( -значная)

Поскольку , то , и -- вещественные функции:

4) , если выполняется условие:

5) Функция называется непрерывной в точке , если и

Непрерывность в области означает непрерывность в каждой точке области

6) называется равномерно непрерывной в области , если выполняется следующее условие: