ОЛДУ 2 порядка пост. коэф-ми

Свойства решений ОЛДУ 2го порядка

Т 1.если является реш-ем ОЛДУ,то и, где с-произв. Const, также явл.реш-ем ОЛДУ

Т2. Если и -решения ОЛДУ, то и их сумма также является решением этого уравнения.

Следствие: Если и -решения ОЛДУ, то ф-я -также реш-е этого ур-я

Опр. 2 ф-ии и этих ф-ий тождественно равна нулю на этом промежутке, т. е.

Если таких чисел подобрать нельзя,то функции наз. л/ нез. на указ.промежутке.

Ф-ии и будут л/зав. тогда и только тогда, когда их отношение постоянно, т. е.

Опр. М-во реш-ий ОЛДУ, опред. и л/ нез.на(а,b)наз-ся ФСР этого ур-я на (а,b)

ОЛДУ 2 порядка пост. коэф-ми

,его харакатеристическим явл.

Т. Пусть дано ОЛДУ 2го порядка с ПК (2) и λ₁, λ₂ - корни хар-го ур-ия λ²+ λp+q=0.

1). λ₁, λ₂ – корни действит и различны, сис-ма реш имеет вид:

Эти решения л/н, т.к. их отношение

След-но реш-я образ.ФСРТогда общ.реш-е иммет вид:

Пример:

Тогда

ФС Р:

Общее реш-е:

2) Корни комплексно-сопряженные. λ₁=a+bi, λ₂=a-bi, b<>0. По предыдущему, , -решения и они л/н. Рассмотрим

Они яв-ся решениями Ур-ия как лин комбинация реш-й. Они л/н

(по ф-ле Мувра).

Значит ФСР

Общее реш-е:

3) Корни урав-я λ²+ λp+q=0 равны

(λ₁=λ₂)

Тогда

Преобр-ем Л.Ч.характ.ур-я

В силу (*):

Однако, частным реш-ем ур-я (2) явл. .Убедимся, что -это 2ое реш-е ур-я(2)

Подставим в ур-е(2)

С учётом получ:

Общ.реш-е: