Виды случайных событий

Пусть произведено испытание, в результате которого возможны события А_1, А₂,..., An.

События А_1, А₂,..., An называются несовместными, если осуществление одного из них исключает осуществление других.

События А_1, А₂,..., An называются совместными, если в данных условиях появление одного из них не исключает появление другого при том же испытании.

Пример 12.

В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь. События А₁ — «появилась стандартная деталь» и А₂ — «появилась нестандартная деталь» являются несовместными событиями.

Пример 13.

Брошена игральная кость. Событие А₁ — «появление двух очков» н событие А ₂ — «появление четного числа очков» совместны, так как появление одного из них не исключает появление другого.

События А_1, А₂,..., An называются равновозможными, если условия испытания обеспечивают одинаковую возможность осуществления каждого из них.

Пример 14.

Появление того или иного числа очков при бросании игральной кости есть события равновозможные, так как игральная кость изготовляется из однородного материала и имеет строго симметричную форму.

Пример 15.

Появление герба и появление цифры при бросании симметричной монеты есть события равновозможные.

События А_1, А₂,..., An образуют полную группу событий, если в результате данного испытания непременно произойдет хотя бы одно из них.

Пример 16.

В урне имеются три белых шара, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, и пять черных шаров, перенумерованных цифрами 1, 2, 3, 4, 5. Из урны наугад берут один шар. События:

a₁ — «появление шара с цифрой 1»,

А₂ — «появление шара с цифрой 2»,

А₃ — «появление шара с цифрой 3»,

А₄ — «появление шара с цифрой 4»,

А₅ — «появление шара с цифрой 5»

образуют полную группу.

Важную роль играет полная группа несовместных событий, т. е. такая группа событий, что в результате данного испытания непременно произойдет одно и притом только одно событие данной группы.

Пример 17.

При бросании игральной кости возможны события:

a₁ — «появление одного очка»,

А₂ — «появление двух очков»,

А₃—«появление трех очков»,

А₄ — «появление четырех очков»,

А₅ — «появление пяти очков»,

А_б — «появление шести очков».

Эти события образуют полную группу несовместных событий.

Два случайных события называются противоположными, если одно из них происходит в том и только том случае, когда не происходит другое.

Событие, противоположное событию А, обозначают через (читают «не А»),

Пример 18.

Попадание и промах при выстреле по мишени — противоположные события. Если А— попадание, то — промах.

Пример 19.

Появление четного числа очков при бросании игральной кости — событие, противоположное появлению нечетного числа очков.

Очевидно, что противоположные события образуют полную группу событий.

Любое случайное событие может быть представлено в виде некоторого множества. Поясним сказанное на конкретном примере.

Пример 20.

При бросании игральной кости непременно произойдет одно из событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆. Каждое из этих событий назовем элементарным событием. Все элементарные события a_i (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) образуют множество элементарных событий А = { a₁, А₂, А ₃, А₄, А₅, А₆ }.

Очевидно, что: 1) событие В —«появление четного числа очков» может быть представлено в виде множества В = { А₂, А₄, А₆ }; 2) событие С — «появление числа очков, не большего трех», может быть представлено множеством С = { А_1, А₂, А₃ }; 3) событие D — «появление числа очков, которое делится на 3», может быть представлено множеством D = { А₃, А₆ } и т. д.

Нетрудно заметить, что множества В, С и D являются подмножествами множества элементарных событий А. Таким образом, любое случайное событие может быть представлено подмножеством множества всех элементарных событий данного испытания.

Пример 21.

Среди учащихся, собравшихся на лекцию по теории вероятностей, выбирают наудачу одного. Пусть событие А заключается в том, что выбранный окажется юношей, В —девушкой, событие С — в том, что он живет в общежитии, а событие D — в том, что он носит очки. Записать событие, состоящее в том, что выбранный учащийся:

1) юноша, живущий в общежитии;

2) девушка, носящая очки;

3) юноша, носящий очки и не живущий в общежитии;

4) девушка, не носящая очков и живущая в общежитии;

5) живет в общежитии и не носит очки;

6) носит очки и не живет в общежитии;

7) юноша, не носящий очки.

Решение. Поскольку искомое событие состоит в том, что выбранный учащийся является одновременно:

1) и юношей, и живущим в общежитии, это запишется так: АС;

2) и девушкой, и носящим очки, это запишется так: BD;

3) и юношей, и носящим очки, и не живущим в общежитии, это запишется так: AD ;

4) и девушкой, и не носящим очков, и живущим в общежитии, это запишется так: В С;

5) и живущим в общежитии, и не носящим очков, это запишется так: C ;

6) и носящим очки, и не живущим в общежитии, это запишется так: D ;

7) и юношей, и не носящим очков, это запишется так: A .

Пример 22.

Указать, какие события в примере 21 являются несовместными с событием 1).

Решение. Искомые события состоят в том, что выбранный учащийся либо не юноша, либо не живущий в общежитии. Этому условию удовлетворяют события 2), 3), 4), 6).

Пример 23.

Какое событие в примере 21 является противоположным событию 2)?

Решение. Искомое событие состоит в том, что выбранный учащийся не является девушкой или не носит очков, т. е. + .