Задание к работе

Лабораторная работа №1. Парная линейная регрессия

(с дополнением к пункту 17)

Цель работы

Задание к работе

Исходные данные смоделированы на основе линейной эконометрической модели:

,

где случайные величины взаимно независимы и нормально распределены с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Исходные данные представляют собой двумерную выборку

По выборке необходимо построить парную линейную регрессию и проверить ее статистическую значимость.

1. Для заданных исходных данных постройте поле корреляции — диаграмму зависимости показателя от фактора : тип диаграммы «Точечная» (без отрезков, соединяющих точки).

Рис. 1. Диаграмма зависимости показателя от фактора .

2. Найдите выборочные характеристики , , , , , , , используя средства Excel, результаты вычислений оформить в виде таблицы (рис. 2.):

— выборочные средние значения и , функция AVERAGE/ СРЗНАЧ.

Вычисления в Excel реализованы по формулам , ;

— смещенные выборочные оценки дисперсии и , функция VARP/ ДИСПР.

В Excel реализованы формулы , .

— смещенные выборочные средние квадратические отклонения и , STDEVP/ СТАНДОТКЛОНП. Вычисления в Excel выполнены по формулам

, .

— выборочный коэффициент корреляции , функция CORREL/ КОРРЕЛ. В Excel реализуется формула: .

Рис. 2. Выборочные характеристики, вычисленные средствами Excel.

3. Найдите коэффициенты a и b выборочной линейной регрессии, используя средства Excel

Для вычисления коэффициентов воспользуйтесь встроенной функцией LINEST/ ЛИНЕЙН (функция находится в категории “Статистические” и вычисляет выборочные оценки и параметров уравнения регрессии ):

1) В свободном месте рабочего листа выделите область ячеек размером 5 строк и 2 столбца для вывода результатов.

2) В Мастере функций (категория “Статистические”) выберите функцию LINEST /ЛИНЕЙН.

3) Заполните поля аргументов функции:

Известные_значения_y — адреса ячеек, содержащих значения признака ;

Известные_значения_x — адреса ячеек, содержащих значения фактора ;

Константа — логическое значение, указывающее на наличие свободного члена a в уравнении регрессии: укажите значение поля Константа равное 1, тогда свободный член рассчитывается обычным образом (если значение поля Константа равно 0, то свободный член полагается равным 0);

Статистика — логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет: укажите значение поля Статистика равное 1, тогда выводится дополнительная регрессионная информациям (если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения регрессии — оценки a и b).

4) После того, как будут заполнены все аргументы функции, нажмите комбинацию клавиш <CTRL> + <SHIFT> + <ENTER>.

Расчеты параметров регрессионной модели выводятся в виде таблицы:

Таблица 1.

Значение коэффициента	Значение коэффициента
Стандартная ошибка коэффициента	Стандартная ошибка коэффициента
Коэффициент детерминации	Оценка стандартного отклонения остатков
-статистика	Число степеней свободы, равное
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

-статистика Число степеней свободы

Регрессионная сумма квадратов Остаточная сумма квадратов

Рис. 3. Таблица результатов использования функции LINEST /ЛИНЕЙН.

4. Проверьте значения коэффициентов , непосредственным вычислением по формулам:

, , ,

Рис. 4. Таблица значений коэффициентов , , полученных непосредственным вычислением по формулам.

5. Вычислите значения по уравнению эмпирической регрессии:

.

6. Постройте на корреляционном поле прямую линию выборочной линейной регрессии по точкам .

Рис. 5. Результаты выполнения пунктов 5 и 6.

7. Вычислите остатки .

8. Постройте график остатков (тип диаграммы — «Точечная»).

Рис. 5. График остатков .

9. Найдите величину средней ошибки аппроксимации :

.

10. Вычислите коэффициент детерминации непосредственно по формуле:

Сравните полученное значение коэффициента детерминации с вычисленным ранее с помощью функции CORREL/ КОРЕЛЛ выборочным коэффициентом корреляции.

11. Рассчитайте оценку , стандартные ошибки параметров линейной регрессии , и коэффициента корреляции непосредственно по формулам.

– несмещенная оценка дисперсии возмущений (теоретической остаточной дисперсии);

– стандартная ошибка коэффициента регрессии ;

– смещенные выборочное среднее квадратическое отклонения ;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии ;

– выборочный коэффициент корреляции;

– смещенное выборочное среднее квадратическое отклонения .

12. Вычислите соответствующие значения – статистик для коэффициентов регрессии , и коэффициента корреляции . Проверьте статистическую значимость полученных значений коэффициентов регрессии и коэффициента корреляции.

Статистика при выполнении гипотезы распределена по закону Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Из таблицы распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы по заданному уровню значимости выбирается значение как критическая точка, соответствующая двусторонней области.

Тогда:

1) Если , то гипотезу следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент b статистически значимым,

2) Если , то гипотезу следует принять и, следовательно, признать коэффициент b статистически незначимым.

Статистика при выполнении гипотезы распределена по закону Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Из таблицы распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы по заданному уровню значимости выбирается значение как критическая точка, соответствующая двусторонней области.

Тогда:

1) Если , то гипотезу следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент a статистически значимым,

2) Если , то гипотезу следует принять и, следовательно, признать коэффициент a статистически незначимым.

Статистика при выполнении гипотезы (т.е. при отсутствии корреляционной связи, здесь — генеральный коэффициент корреляции) распределена по закону Стьюдента с n - 2 степенями свободы.

Из таблицы распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы по заданному уровню значимости выбирается значение как критическая точка, соответствующая двусторонней области.

Тогда:

1) Если , то гипотезу следует отклонить и, следовательно, признать коэффициент статистически значимым,

2) Если , то гипотезу следует принять и, следовательно, признать коэффициент статистически незначимым.

Проверка значимости коэффициента b одновременно является проверкой значимости парной линейной регрессии в целом. Еще один способ проверки значимости парной линейной регрессии основан на коэффициенте детерминации R² и статистике, распределенной по закону Фишера с числом степеней свободы числителя равном 1 и числом степеней свободы знаменателя равном n - 2.

Табличные значения определяются с помощью функции TINV/СТЬЮДРАСПОБР. – вычисляет верхнее критическое значение распределения Стьюдента с степенями свободы, соответствующее заданному уровню значимости .

Аргументы этой функции:

Вероятность — уровень значимости , можно принять равным 0,05 (т.е. 5%);

Степени_свободы — число степеней свободы, для парной линейной регрессии равно , где — число наблюдений.

13. Проверьте значимость полученного уравнения регрессии в целом по критерию Фишера.

Если выполнены предположения регрессионного анализа, то при выполнении гипотезы (что означает отсутствие взаимосвязи между x и y, а так же статистическую незначимость построенной парной регрессии) статистика распределена по закону Фишера с числом степеней свободы числителя равном 1 и числом степеней свободы знаменателя равном n - 2.

По таблице распределения Фишера-Снедекора при заданном уровне значимости определяется значение как критическая точка

при числе степеней свободы числителя равном 1 и числе степеней

свободы знаменателя равном n - 2.

Тогда:

1) Если , то гипотезу следует отклонить и, следовательно, признать построенное уравнение линейной регрессии статистически значимым,

2) Если , то гипотезу следует принять и, следовательно, признать построенное уравнение статистически незначимым.

Значение можно определить с помощью функции FINV /FРАСПОБР. Аргументы этой функции:

Вероятность — уровень значимости , можно принять равным 0,05 (т.е. 5%);

Степени_свободы1 — число степеней свободы числителя, равно 1 (т.к. один фактор);

Степени_свободы2 — число степеней свободы знаменателя, для парной регрессии равно , где — число наблюдений.

14. Вычислите доверительные интервалы параметров линейной регрессии.

Доверительные интервалы для параметров a и b с заданным уровнем доверия, в качестве которого на практике обычно выбирают вероятность 0,95 (соответствующую уровню значимости 0.05 или 5%).

– стандартная ошибка коэффициента регрессии ;

– критическое значение для заданного уровня значимости и заданного числа степеней свободы n - 2, определенное по таблицам распределения Стьюдента

;

– стандартная ошибка коэффициента регрессии .

15. Постройте прогноз среднего значения показателя и точечный прогноз значения при значении в 3 раза больше, чем среднее значение .

Точечный прогноз значения показателя согласно линейной парной регрессии для вычисляется по формуле

Интервальный прогноз (доверительный интервал прогноза) вычисляется аналогично доверительному интервалу параметров регрессии.

По таблицам распределения Стьюдента с n - 2 степенями свободы определяется – критическое значение для заданного уровня значимости и числа степеней свободы n - 2, тогда

есть доверительный интервал прогноза индивидуального значения

показателя в точке с заданным уровнем доверия

16. Вычислите стандартные ошибки прогноза функции регрессии и индивидуального значения и доверительные интервалы полученных прогнозов.

Стандартная ошибка индивидуального прогноза определяется по формуле:

Очевидно, что чем дальше от , тем шире доверительный интервал прогноза, или, другими словами, тем выше погрешность прогноза.

17. Получите результаты регрессионного анализа с помощью Пакета Анализ данных (Данные/Анализ данных … Регрессия | Tools/Data Analysis …Regression).

В диалоговом окне этой процедуры поля Входной интервал y, Входной интервал x, Константа имеют тот же смысл, что и для функции LINEST/ ЛИНЕЙН.

В поле Метки поставьте флажок, если первая строка в указанном диапазоне данных содержит названия столбцов.

Поставьте флажок в полях Остатки, График остатков, График подбора для того, чтобы получить соответствующую дополнительную информацию.

В результате выполнения процедуры Регрессия появляются три таблицы

- регрессионная статистика;

- дисперсионный анализ;

- таблица, содержащая коэффициенты регрессии, стандартные шибки, t - статистики и границы доверительных интервалов.

Множественный R – множественный коэффициент корреляции

– выборочный коэффициент корреляции между фактическими и расчетными значениями зависимой переменной.

В случае парной линейной регрессии этот коэффициент совпадает с выборочным коэффициентом корреляции

()

, - регрессионные остатки;

- среднее результативного признака.

R-квадрат – коэффициент детерминации (квадрат множественного коэффициента корреляции) ();

Нормированный R-квадрат – (скорректированный коэффициент детерминации)

(у Мхитаряна: )

m – число факторов (для парной регрессии – один фактор, одна независимая переменная x, m = 1)

Стандартная ошибка – (выборочное стандартное отклонение остатков)

p – число параметров (для парной регрессии – параметры a и b, p = m + 1)

– стандартная ошибка коэффициента регрессии ;

Наблюдения – n объем выборки.

SS_рег – сумма квадратов отклонений расчетных значений от выборочного среднего , обусловленная регрессией , SS_рег = 93584,5.

SS_ост – сумма квадратов остатков

SS_ост = 10370,1

SS_общ – общая сумма квадратов отклонений фактических значений от выборочного среднего , SS_общ =103955.

Эти суммы связаны равенством , действительно 93584,5 + 10370,1 = 103955

MS_рег – средний квадрат регрессии?????? (оценка дисперсии регрессии)

MS_рег = 93584,5

m – число факторов (для парной регрессии – один фактор, одна независимая переменная x, m = 1)

p – число параметров (для парной регрессии – параметры a и b, p = m + 1)

MS_ост – средний квадрат остатков MS_ост =370,36 (оценка дисперсии остатов)

F - статистика, служит для проверки значимость полученного уравнения регрессии в целом по критерию Фишера.

, F = 252,685

Значимость F

df – число степеней свободы,

– df _общ = n – 1 – число степеней свободы суммы SS_общ

– df _рег = p – 1 – число степеней свободы суммы SS_рег

– df _ост = n – p – число степеней свободы суммы SS_ост

df _общ = df _рег + df _ост

Нижние 95% – нижняя граница доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95,

Верхние 95% – верхняя граница доверительного интервала с доверительной вероятностью 0,95,