Критерий линейной зависимости векторов

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух

векторов является их коллинеарность.

2. Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Данной операции соответствует умножение длины данного вектора x на проекцию другого вектора y на данный вектор x. Эта операция обычно рассматривается каккоммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Свойства скалярного произведения:

3. Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведенными к общему началу, лежат в одной плоскости^[1].

Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X ' X и Y ' Y, называются координатными углами или квадрантами (см. рис. 1).

если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле

4. Векторное произведение двух векторов а и b - это операция над ними, определенная лишь в трехмерном пространстве, результатом которой является вектор со следующими

свойствами:

Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах. Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа , которое удовлетворяет равенству .

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены вортонормированном базисе

а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид

Для запоминания этой формулы удобно использовать определитель:

5. Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведениевекторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр(точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами .

При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:

При циклической (круговой) перестановке множителей смешанное произведение не изменяется:

Смешанное произведение линейно по любому множителю.

Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны.

1. Условие компланарности векторов: три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

§ Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

§ Смешанное произведение компланарных векторов . Это — критерий компланарности трёх векторов.

§ Компланарные векторы — линейно зависимы. Это — тоже критерий компланарности.

§ Существуют действительные числа такие, что для компланарных , за исключением случаев или . Это — переформулировка предыдущего свойства и тоже критерий компланарности.

§ В 3-мерном пространстве 3 некомпланарных вектора образуют базис. То есть любой вектор можно представить в виде: . Тогда будут координатами в данном базисе.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

§ 6. Общее уравнение (полное) плоскости

где и — постоянные, причём и одновременно не равны нулю; в векторной форме:

где — радиус-вектор точки , вектор перпендикулярен к плоскости (нормальный вектор). Направляющие косинусы вектора :

Если один из коэффициентов в уравнении плоскости равен нулю, уравнение называется неполным. При плоскость проходит через начало координат, при (или , ) П. параллельна оси (соответственно или ). При (, или ) плоскость параллельна плоскости (соответственно или ).

§ Уравнение плоскости в отрезках:

где , , — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях и .

§ Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору нормали :

в векторной форме:

(смешанное произведение векторов), иначе

§ Нормальное (нормированное) уравнение плоскости

§ Угол между двумя плоскостями. Если уравнения П. заданы в виде (1), то

Если в векторной форме, то

§ Плоскости параллельны, если

или (Векторное произведение)

§ Плоскости перпендикулярны, если

или . (Скалярное произведение)

7. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , не лежащие на одной прямой:

8.Расстояние от точки до плоскости — это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, чторасстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

§ Отклонение точки от плоскости заданной нормированным уравнением

,если и начало координат лежат по разные стороны плоскости, в противоположном случае . Расстояние от точки до плоскости равно

§ Расстояние от точки , до плоскости, заданной уравнением , вычисляется по формуле:

9. Пучок плоскостей — уравнение любой П., проходящей через линию пересечения двух плоскостей

где α и β — любые числа, не равные одновременно нулю.

Для того чтобы три плоскости, заданные своими общими уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0 относительно ПДСК принадлежали одному пучку, собственному или несобственному, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был равен или двум, или единице.
Теорема 2. Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости π₁ и π₂ своими общими уравнениями: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0, A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Для того чтобы плоскость π₃, заданная относительно ПДСК своим общим уравнением A₃x+B₃y+C₃z+D₃=0, принадлежала пучку, образованному плоскостями π₁ и π₂, необходимо и достаточно, чтобы левая часть уравнения плоскости π₃ представлялась как линейная комбинация левых частей уравнений плоскостей π₁ и π₂.

10. Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — радиус-вектор некоторой фиксированной точки M ₀, лежащей на прямой, — ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой, — радиус-вектор произвольной точки прямой.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки M ₀, лежащей на прямой; — координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

Каноническое уравнение прямой в пространстве:

где — координаты некоторой фиксированной точки M ₀, лежащей на прямой; — координаты вектора,коллинеарного этой прямой.

Общее векторное уравнение прямой в пространстве:

Поскольку прямая является пересечением двух различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими уравнениями:

и

то уравнение прямой можно задать системой этих уравнений:

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле:

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k ₁ = k ₂. (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

(9)

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

(10)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A ₁ A ₂ + B ₁ B ₂ = 0. (12)

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

11.

12. В пространстве расстояние от точки до прямой, заданной параметрическим уравнением

можно найти как минимальное расстояние от заданной точки до произвольной точки прямой. Коэффициент t этой точки может быть найден по формуле

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра. Оно равно расстоянию между параллельными плоскостями, проходящими через эти прямые.

В координатах