Прямые, параллельные плоскостям проекций

Угол пространства

Координата I II III IV

X + + + +

Y + - - +

Z + + - -

Билет №7 с23

На эпюре прямая может быть задана: проекциями прямой (а' и а"); проекциями двух точек, принадлежащих прямой (А', А" и В', В"); проекциями отрезка прямой (С'D' и C"D").

Билет№8 с 23

Особый интерес представляют прямые частного по­ложения, т. е. прямые, расположенные определенным образом относительно плоскостей проекций: параллель­ные, перпендикулярные и принадлежащие плоскостям проекций.

Прямые, параллельные плоскостям проекций

1. Горизонтальная прямая h.

Горизонтальная прямая — это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций π₁. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проек­ций π₁ (координаты z всех точек прямой одинаковы), то фронтальная и профильная проекции прямой соот­ветственно параллельны координатным осям х и у.

2. Фронтальная прямая f.

Фронтальная прямая — это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций π₂, Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π₂ (координаты у всех точек прямой одинаковы), то го­ризонтальная и профиль­ная проекции прямой со­ответственно параллельны координатным осям х и z.

3. Профильная пря­мая р.

Профильная прямая — это прямая, параллельная профильной плоскости проекций я₃. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π₃ (ко­ординаты х всех точек прямой одинаковы), то горизон­тальная и фронтальная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям у и z.

Прямые, принадлежащие ПП.

Прямые, принадлежа­щие плоскостям проекций, являются частным случаем горизонтальных, фронталь­ных и профильных прямых.

Билет №9 с26

Из инвариантного свойства 3 следует, что проекции точки К (К', К" и К'"), принадлежащей прямой а, долж­ны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой, т. е.

Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой.

Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К', К" и К'"), принадлежащей отрезку пря­мой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ, т. е.

Билет №10 с 27

Две прямые в пространстве могут пересекаться, скре­щиваться и могут быть параллельны. Рассмотрим изо­бражение этих прямых на эпюре.

1. Пересекающиеся прямые. Пересекающимися пря­мыми называются прямые, имеющие одну общую точку.

Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения прямых а и b есть точка пересечения проекций этих прямых.

2. Параллельные пря­мые. Параллельными пря­мыми называются прямые, пересекающиеся в несобст­венной точке (т. е. прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в беско­нечно удаленной точке).

Из инвариантного свойст­ва 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.

3. Скрещивающиеся пря­мые. Скрещивающиеся пря­мые — это прямые, не ле­жащие в одной плоскости, это прямые, не имеющие общей точки. На эпюре точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпенди­куляре к оси х (в отличие от пересекающихся пря­мых).

4. Перпендикулярные прямые. Особый интерес с точки зрения решения за­дач начертательной геомет­рии представляют прямые перпендикулярные. Из ин­вариантного свойства 9.2 следует, что любой угол (в том числе и прямой) между двумя пересекающи­мися прямыми проецирует­ся без искажения, если обе стороны этого угла парал­лельны плоскости проекций. Прямой угол по инвари­антному свойству 10 прое­цируется в натуральную ве­личину, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций.

На эпюре пересекающиеся прямые изображаются пересекающимися линиями на обоих видах, скрещивающиеся прямые –пересекающимися линиями на одном виде и непересекающимися

Билет №11 с 29

Следом прямой линии называется точка пересечения прямой с плоскостью проекций. В системе двух плос­костей проекций Л! и л₂ прямая в общем случае имеет два следа: горизонтальный Н (Н', Н") и фрон­тальный F (F', F") — точки пересечения прямой соот­ветственно с горизонтальной и фронтальной плоскостя­ми проекций.

Горизонтальный след прямой — это такая точка этой прямой, координата z которой равна нулю (z = 0). Фронтальный след прямой — это точка прямой, координата у которой равна нулю (у = 0). Поль­зуясь этим правилом, нетрудно определить следы прямой на эпюре.

В начертательной геометрии считается, что наблю­датель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэ­тому видимыми геометрическими фигурами будут толь­ко те, которые расположены в первом углу. Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических про­екциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями.

Билет №12 c 30

На рис. 43 показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А'В'. Про­ведя прямую ВВ₁ параллельную горизонтальной про­екции отрезка А'В' (ВВ₁ II А'В'), получим прямоугольный треугольник АВВ₁.

Длина отрезка АВ равна гипотенузе этого треугольника, катетами которого являются гори­зонтальная проекция от­резка А'В' и разность коор­динат z точек А и В (Δz = = z_А – z_B).

Как известно, угол на­клона прямой к плоскости равен углу между этой прямой АВ и ее проек­цией на плоскость (А'В¹).

Следовательно, угол треугольника АВВ₁ лежа­щий против катета Δz, равен углу наклона отрез­ка АВ к горизонтальной плоскости проекций π₁ (угол α°).

Аналогично рассуждая (рис. 44), можно пока­зать, что длина отрез­ка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фрон­тальная проекция отрезка А"В" и разность коорди­нат у точек А и В

(ΔУ = У а - У в)-

Угол этого треугольни­ка, лежащий против кате­та Δу, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π₂ (угол β°).

По аналогии длина от­резка АВ может быть оп­ределена и как гипотену­за треугольника, катеты которого — профильная проекция отрезка А'"В'" и разность координат х (Δх = х_A – х_B) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δx, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π₃.

На рис. 45 показан пример определения длины от­резка АВ и углов наклона его к плоскостям проекций (L_АВ — длина отрезка АВ; α°, β°, γ° — углы наклона его соответственно к плоскостям проекций π₁, π₂, π₃).

Билет №13 с 32

Метод конкурирующих точек используется в на­чертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометри­ческих фигур.

Конкурирующими точ­ками называются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции. Так, на рис. 46 показаны конкурирующие точки А к В (совпадают го­ризонтальные проекции А' = В') и С, D (совпадают фронтальные проекции С" ≡ D").

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям. Так, точка В находится выше точки А относитель­но плоскости π₁ (z_в > z_А), поэтому на плоскости π₁ видна точка В, которая закрывает точку А (счита­ется, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу s).

На плоскости π₂ видна точка О, так как она нахо­дится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π₂, У_D > Ус) и закрывает невидимую точку С.

Пользуясь этим методом (рис. 47), можно опреде­лить, что прямая а проходит над прямой b, так как точка А, принадлежащая этой прямой а, расположена выше точки В, находящейся на прямой b (z_л > z_в).

В дальнейшем методом конкурирующих точек будем пользоваться при определении видимости пересекаю­щихся геометрических фигур.

Билет №14 с 34

На эпюре плоскость может быть задана графически одним из следующих способов:

1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;

2) прямой и точкой вне ее;

3) двумя пересека­ющимися прямыми;

4) двумя парал­лельными прямыми;

5) плоской фигурой (напр. треугольник или па­раллелограмм );

6) следами. Следом плоскости α называется линия пе­ресечения этой плос­кости с плоскостью проекций. В системе двух плоскостей проек­ций π₁ и π₂ плоскость в общем случае имеет два следа: горизонтальный h_0α (h’_0α, h”_0α) и фрон­тальный f_0α (f’_0α, f”_0α), которые являются пе­ресечением плоскос­ти α соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскос­тями проекций.

Билет №15 с 36.

Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (проецирующие плоскости)

1. Горизонтально проецирующая плоскость α перпендикулярная π₁. Плоскость а, перпендикулярная горизонтальной плос­кости проекций π₁, называется горизонтально проеци­рующей (рис. 53, 54).

Основным свойством горизонтально проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположен­ная в этой плоскости, проецируется на π₁ в прямую линию (горизонтальный след плоскости h_0α, Рис- 53, 54).

Угол β, который составляет горизонтальный след плоскости h_0α с координатной осью х, равен углу на­клона плоскости α к плоскости проекций π₂. Фронталь­ный след такой плоскости перпендикулярен оси х ( f_0α перпендикулярен х).

На рис. 54 показаны примеры изображения на эпюре горизонтально проецирующих плоскостей α, β и γ (DЕF).

2. Фронтально проецирующая плоскость β перпендикулярна π₂. Плоскость β, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций π₂, называется фронтально проецирующей

(рис. 55, 56).

Основным свойством фронтально проецирую­щей плоскости является то, что любая фигура, рас­положенная в этой плос­кости, проецируется на π₂ в прямую линию (фрон­тальный след плоскос­ти f_0β рис. 55, 56). Угол α°, который составляет фронтальный след плос­кости f_0β с координатной

осью х, равен углу накло­на плоскости β к плоскос­ти проекций π₁. Горизон­тальный след такой плос­кости перпендикулярен

оси х (h_0β перпендикулярен x).

На рис. 55 показаны примеры изображения на эпюре фронтально проеци­рующих плоскостей β,γ и δ.