Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Идея барицентрических координат ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Выберем на плоскости произвольный треугольник АВС (рис. 8), который в дальнейшем назовем координатным, или базисным треугольником Мебиуса. Пусть р¹0 и (Р, р) ¾ произвольная материальная точка, лежащая в плоскости этого треугольника. Тогда возможно подобрать для точек А, В, С такие массы а, b, с (не обязательно положительные), чтобы объединением трех материальных точек (А, а), (В, b) и (С, с) служила точка (Р, р). Это можно себе представить следующим образом. Ясно, что не может быть одновременно РА ½½ ВС, РВ ½½ СА, РС ½½ АВ. Пусть, для определённости, РА и ВС не параллельны. Соединим Р с А и отметим точку А1, в которой АР встречает прямую ВС. Подберём три действительных числа а, b, c так, чтобы b× BA 1 = c× A1C, a× AP = (b + c)× PA1, a + b + c = p. Это всегда возможно сделать. Тогда (P, p) = (A, a) + (B, b) + (C, c). Обратно, если возьмём три произвольных действительных числа a, b, c, причём a + b + c ¹ 0, то существует вполне определённая материальная точка (Р, р) такая, что (Р, р) = (A, a) + (B, b) + (C, c). Таким образом, каждую материальную точку Р º (Р, р) на плоскости можно вполне охарактеризовать тремя числами, а именно тремя массами a, b и с, которые надо поместить в вершинах базисного треугольника, чтобы точка Р оказалась объединением трёх образующихся при этом материальных точек (A, a), (B, b) и (C, c). Эти три числа называют барицентрическими координатами материальной точки Р («барицентр» означает «центр тяжести»): а — первая барицентрическая координата, b — вторая, с — третья. Понятно, что те же три числа a, b, c определяют также положение носителя материальной точки Р. Поэтому эти три числа называют также барицентрическими координатами (геометрической) точки Р. Таким образом, выражение «барицентрическими координатами точки Р служат числа a, b, c» означает только то, что имеет место равенство (A, a) + (B, b) + (C, c) = (P, p), где p = a + b + c. Если массы трёх материальных точек увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то от этого положение их центра тяжести не изменится. Поэтому барицентрическими координатами геометрической точки Р будут также числа k×a, k×b, k×c, где k — любое действительное число, не равное нулю. Итак, геометрическая точка Р (в отличие от материальной точки Р) имеет бесконечно много троек барицентрических координат, причём каждая из этих троек может быть получена из какой-либо одной тройки (a, b, c) путём умножения на какую-либо константу k, отличную от нуля. Если точка Р находится внутри координатного треугольника, то все три её барицентрические координаты одного знака (их можно считать положительными). Если точка Р — на какой-либо стороне координатного треугольника или на её продолжении, то хотя бы одна барицентрическая координата этой точки равна нулю. В остальных случаях две координаты точки Р — одного знака, а третья имеет противоположный знак. Если точка Р расположена внутри базисного треугольника ABC, то в качестве её барицентрических координат можно принять площади треугольников BPC, CPA и APB. Применение барицентрических координат позволяет внести одно существенное упрощение в рассуждения, связанное с рассмотрением материальных точек: рассмотрение любых произвольно расположенных материальных точек в любом числе сводится к рассмотрению только таких материальных точек, которые имеют носителями вершины базисного треугольника.
|