Раскрытие других неопределённостей

Теоремы о среднем (Ролля, Лагранжа, Коши). Правило Лопиталя.

Ролль - Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка e, a < e < b, в которой производная функция f(x) равная нулю,

f¢(e) = 0.

Лагранж - если функция непрерывна на отрезке идифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

.

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Коши - Пусть даны две функции и такие, что:

1. и определены и непрерывны на отрезке ;

2. производные и конечны на интервале ;

3. производные и не обращаются в нуль одновременно на интервале

4. ;

тогда существует , для которой верно:

.

(Если убрать условие 4, то необходимо, например, усилить условие 3: g'(x) не должна обращаться в ноль нигде в интервале .)

Теорема Лопиталя:

1. либо ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.