Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема Котельникова-Шеннона





Нагадаємо визначення просторів L1 і L2 і норм в них.

Визначення. Простором L1(R) називається простір комплекснозначних або

дійсних функцій, інтегрованих на безлічі R.

Визначення. Нормою елементу f в просторі L1(R) називається величина

Визначення. Простором L2(R) називається простір комплекснозначних або

дійсних функцій інтегрованих на безлічі R з квадратом.

L2(R) – евклідовий простір, скалярний твір для елементів f і g в нім вводиться

як

Визначення. Нормою елементу f в просторі L2(R) називається величина

Перетворення Фурє F(γ) функції f(t) визначається як

для всіх γÎR.

Позначимо через A(R) безліч перетворень Фурє всіх функцій f, що належать

простору L1(R).

Теорема. Нехай fÎL1(R) ∩ A(R) або f Î L2 (R). Припустимо, дані константи T, Ω >0

такі що

F(γ) рівна 0 поза сегментом [-Ω, Ω] (1)

та

0<2TW≤1. (2)

Тоді

(3)

причому ряд сходиться по точечно на R, якщо f L1 (R)∩А(R), і ряд сходиться

рівномірно, якщо fÎ L2 (R) (сигнал, що описується безперервною функцією часу f(t) з

обмеженим спектром, повністю визначається своїми значеннями

відліченими через інтервали часу T=1/(2 Ω), де Ω - ширина

спектру сигналу).

 

Доведення:

1) Нехай fÎL1(R) ∩ A(R).

Всім функціям G(γ)

Продовжимо її періодично з періодом 1/T на R. Тоді можемо розкласти G(γ) в ряд

Фурє, що має вигляд

,

де

.

З визначення функції G(γ) та з формули звернення значить, що cn=Tf(nT).

- <по формулі звернення>

- <по визначенню функції G(γ)>

- <підставили вираз для ряду Фурє функції G(γ)>

- < ряди Фурє інтегрованих функцій можна інтегрувати почленно>

- < отримуємо звичайним інтегруванням>

- <так як cn=Tf(nT), помножили та поділили на 2Ω>,

2) Нехай f ÎL2(R).

У просторі L2 теорема доводиться аналогічно. Так само вводимо функцію G(γ),

періодично продовжуємо її на R і розкладаємо в ряд Фурє.

Відмітимо, що за визначенням перетворення Фурє в L2

.

Нехай Sn(γ)-n-a часткова сума Фурє функції G(γ).

Введемо функцію

Тоді,

- <по визначенню cΩ(γ)>

- <по теоремі Планшереля >

Так як Sn-n-а часткова сума ряду Фурє G, то

Використовуючи це співвідношення, (5) і (6), а також нерівність Гельдера і визначення

коефіцієнтів cn, отримуємо потрібну в теоремі рівність.

Теорема доведена.

Зауваження до теореми Котельникова-Шеннона.

Зауваження 1. Основою доведень теореми в просторах L1 і L2 є можливість

переходу від перетворення Фурє до рядів Фурє.

Зауваження 2. Досліджуємо питання про те, чи можна ослабити умову (2) теореми.

Приведений нижче приклад показує, що цього зробити не можна.

Допустимо, константи T, Ω>0 задовольняють нерівності 2TΩ>1.

Візьмемо функцію

Ясно, що перетворення Фурє цій функції .

 

Отже, Завдання (1) виконане.

Так як , тоді права частина формули (3) .

Функції f і g не рівні, оскільки обидві безперервні на R і f(0)=1, а g(0)=2TΩ>1.

Тобто права частина не рівна лівій частині, що суперечить умові, отже

припущення про те, що 2TΩ>1 не вірно.

Отже, ми довели, що, якщо функція f розкладаємо в ряд Котельникова (3) і спектр її рівний

нулю поза відрізком [-Ω,Ω], виконується співвідношення 0<2TΩ ≤1

Зауваження 3. У формулі (3) константу T зазвичай називають періодом дискретизації

послідовність {f(nT): nÎZ} –послідовністю дискретизованих значень.

Частота 2Ω називається частотою Найквеста або частотою дискретизації. Це мінімальна

частота, з якою потрібно посилати імпульси, щоб не було втрати інформації.

- максимальний період дискретизації, тобто максимальний прийнятний проміжок

часу між передаваючими імпульсами.

Зауваження 4. На практиці відновлена функція f0(t), як правило, не співпадає точно

передаваною функцією f(t). Помилка обумовлена, наприклад, тим, що спектр передаваної

функції f(t) зазвичай обмежений не різко. Це витікає хоч би з того факту, що все

реальні сигнали обмежені в часі і, отже, мають необмежені строго

спектри. Вибір інтервалів відліків T>0 означає, що всі спектральні складові

спектру з частотами w>Ωmax= p/T не передаються і не можуть бути відновлені.

Якщо 2TΩ>1, то початкова функція не може бути відновлена, виникаючий ефект

називається aliasing.

 

Date: 2015-07-02; view: 367; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию