Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Тема №1. Комплексные числаСтр 1 из 6Следующая ⇒ ЛЕКЦИИ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА»
Направление 080100 «Экономика»
Очная форма обучения
Рязань 2012 Тема №1. Комплексные числа Комплексными числами называют всевозможные упорядоченные пары действительных чисел , для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: (1.1) (1.2) Действительные числа называют соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа и обозначают , . В декартовой системе координат комплексное число изображается точкой или радиус-вектором этой точки (см. рис.1.1). Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось – действительной осью, ось – мнимой осью. Комплексные числа вида отождествляются с действительными числами : . Тогда умножение действительного числа на комплексное число в соответствии с формулой (1.1) дает (1.3) Комплексное число называется мнимой единицей и обозначается символом , причем согласно (1.2) Любое комплексное число можно представить как . Запись комплексного числа = в виде = = . (1.4) называется алгебраической формой комплексного числа. Комплексное число называется сопряженным комплексному числу и обозначается символом . Для комплексных чисел определены также операции вычитания и деления . (1.5) При арифметических операциях над комплексными числами, представленных в алгебраической форме (1.4), с ними можно обращаться как с биномами вида , учитывая дополнительно, что . Пример 1.1. Пусть , , , . Вычислить число . Решение: Сначала вычислим числитель дроби первого слагаемого . Вычислим знаменатель дроби первого слагаемого: . Тогда первое слагаемое дроби будет вычисляться по формуле (1.5): . Окончательно вычисляем число . Любое комплексное число () можно представить в виде , (1.6) где – модуль числа (длина радиус-вектора точки , см. рис. 1.1), – аргумент числа , равный величине угла, на который следует повернуть ось до совпадения с вектором ( больше нуля, если вращение происходит против часовой стрелки и меньше нуля, если вращение происходит по часовой стрелки);
На практике обычно формулу (1.6) используют в виде = = . (1.7) Формулы (1.6), (1.7) называют тригонометрической формой записи комплексного числа. Тригонометрической формой записи удобно пользоваться, если необходимо возвести комплексное число = в натуральную степень . Для этого используется формула Муавра возведения в степень: . (1.8) Пример 1.2. Вычислить , если , . Решение: Сначала найдем . Число представим в тригонометрической форме (1.7). Для этого находим модуль и главное значение : . Тогда . По формуле Муавра (1.8) имеем =
Аналогично вычисляем . Для числа модуль , главное значение аргумента , . По формуле Муавра (1.7) имеем . Окончательно имеем = Для извлечения корня натуральной степени из комплексного числа = используется формула , (1.9) где означает арифметический корень -ой степени из действительного положительного числа. Число различных корней равно . Пример 1.3. Найти . Решение: Используем представление числа в тригонометрической форме (см. пример 1.2) . Применяя формулу (1.9), получим () . (1.10) Отдельно подсчитаем все 3 корня (для этого в формуле (1.10) берем соответственно ): , , . Все три корня можно представить в алгебраической форме, используя формулы половинного аргумента , , а также формулы приведения. Вычисляем , , , и подставляем в числа . Отметим все три полученных числа на координатной плоскости. Заметим, что все они имеют один и тот же модуль, равный , то есть они лежат на окружности радиуса с центром в начале координат. Аргумент числа , как нетрудно видеть отличается от аргумента числа на угол, равный (аналогично с числами и ).
Изобразив число на координатной плоскости, повернем его радиус вектор на угол против часовой стрелки и получим число ; повернув радиус-вектор числа на угол опять против часовой стрелки, получим число (см. рис. 1.2). Иногда комплексное число = , записанное в тригонометрической форме (1.7), представляют в показательной форме . (1.11)
|