Перпендикулярность

ОПР. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^°.

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

ОПР. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Т. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая

прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Т. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Т. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Т. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

Т. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Т. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

9.отрезок АН называется перпендикуляром, проведённым из А к , т. Н - основание перпендикуляра. т. М - точка плоскости , отличная от Н. отрезок АМ - наклонная к плоскости , М - её основание, отрезок НМ - проекция наклонной на плоскость . Перпендикуляр АН меньше наклонной АМ. Длина АН называется расстоянием от точки А до плоскости .

Замечания. ОПР.

1. Если прямая параллельна плоскости, то расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

2. Если две плоскости параллельны, то расстояние от произвольной точки одной из плоскостей до другой называется расстоянием между данными плоскостями.

3. Если две прямые скрещиваются, то расстояние между одной из этих прямых и плоскостью, проведённой через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Свойства наклонных

1. Равные наклонные имеют равные проекции

2. обратное утверждение: Если проекции равны, то и равны наклонные

3. У большей наклонной – большая проекция.

Угол, образованный наклонной и ее проекцией на пл, является наименьшим из углов, образованных этой наклонной и любой прямой, лежащей в данной пл и проходящей через ее основание.

Если из точки вне пл проведена к ней наклонная, то в данной пл существует прямая, проходящая через основание наклонной перпендикулярно к ней, и только одна.

Т. о трёх перпендикулярах. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к её проекции, перпендикулярна и к самой наклонной.
Т. Обратная теорема. Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к её проекции.

ОПР. Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если точка лежит в плоскости.

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

ОПР. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.