Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

(Лекция)

Применяя формулу Муавра

,

легко найти комплексные корни n -й степени из произвольного отличного от нуля комплексного числа z.

Пусть . Тогда

uⁿ = z (1)

и все корни n -й степени из числа z являются решениями уравнения (1).

Поскольку комплексное число u отлично от нуля (в противном случае комплексное число z равно нулю, а мы договорились не рассматривать этот случай в виду того, что при z = 0 уравнение (1) имеет единственный n- кратный корень u = 0). Его можно представить в тригонометрической форме:

u = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁).

Пусть, как обычно,

z = r (cos φ + i sin φ),

тогда уравнение (1) примет вид:

r₁ⁿ (cos nφ₁ + i sin nφ₁) = r (cos φ + i sin φ).

Комплексные числа, заданные в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на 2πk (k Z). Поэтому

Откуда получаем:

, (k Z).

Здесь − арифметический корень из положительного действительного числа r.

Обозначим k -й корень n -й степени из комплексного числа z через u_k. Тогда

,

где k Z, k = 0, 1, 2, 3, …, n −1.

Замечание. Корней n -й степени из ненулевого комплексного числа z, заданного в тригонометрической форме, будет ровно n, так как именно столько различных значений будет принимать дробь , где k пробегает n значений от 0 до n-1.

Пример. Найдите .

Решение.− i = cos + i sin .

Следовательно,

Таким образом,

Точки u₀(0; 1), u₁ и u₂ являются вершинами правильного треугольника (см. рис. 1).

u_k+1 равны .