Геометрическая интерпретация комплексного числа

Всякое комплексное число z = (x, y) можно изобразить как точку на плоскости с координатами x и y. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью, при этом ось Ox называется действительной, а Oy - мнимой.

Расстояние r точки z от нулевой точки, т. е. число

называется модулем комплексного числа z и обозначается символом | z |.

Число

называем аргументом комплексного числа z и обозначаем символом θ = arg z. При заданном r углы, отличающиеся на , соответствуют одному и тому же числу. В этом случае записываем называем главным значением аргумента.

Числа r и θ называют полярными координатами комплексного числа z. В этом случае

z = (x, y) = (r cos θ, r sin θ) = r (cos θ + i sin θ)

называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если z ₁ = (r ₁ cos θ ₁, r ₁ sin θ ₁), z ₂ = (r ₂ cos θ ₂, r ₂ sin θ ₂), то

z ₁ z ₂ = (r ₁ r ₂ cos(θ ₁ + θ ₂), r ₁ r ₂ sin(θ ₁ + θ ₂)),

Для n -й степени числа z = (r cos θ, r sin θ) формула приобретает вид zⁿ = (rⁿ cos nθ, rⁿ sin nθ).

При r = 1 соотношение приобретает вид zⁿ = (cos nθ, sin nθ) и называется формулой Муавра.

Корень n -й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находятся по формуле

(1)