Теорема Пифагора и методика её изучения

Теорема Пифагора позволят значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии. На ней в значительной мере базируется дальнейшее изложение теоретического курса.

В результате изучения данного параграфа учащиеся должны:

знать формулировки теоремы Пифагора и следствий из неё; уметь воспроизводить доказательство теоремы Пифагора, применять ее при решении задач.

Чтобы теорема заинтересовала учеников и была ими усвоена, нужна основательная, всесторонняя подготовка. Не заинтересовавшиеся не будут слушать (слушать «пассивно»), и урок потеряет смысл, не будет уроком.

Перед доказательством теоремы Пифагора желательно провести подготовительную работу по готовым чертежам и повторить основные понятия, определения, термины; свойства площадей, так как в доказательстве используется площадь прямоугольника.

При проведении доказательства теоремы Пифагора полезно подвести учеников к тому, чтобы они приняли пассивное участие в составлении формулировки теоремы; освоили формулировку, выделили условие и заключение. Учитель должен, заранее заготовив чертёж, необходимый для доказательства теоремы, наглядно показывать на чертеже этапы проведения доказательства.

Необходимо, чтобы ученики имели опыт в решении задач; освоили первые шаги (умели сделать чертёж как можно близкий к усвоению, внести в него всё, что дано в условии, ввести необходимые обозначения), записать условие и заключение, используя введённые обозначения; Владели элементарными навыками поиска решения задач.

Для закрепления теоремы можно предложить учащимся следующие устные задачи на вычисление:

а) Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Вычислите гипотенузу треугольника.

б) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5 см, а один из катетов 3 см. Определите второй катет.

Вопросами для повторения предусматриваются доказательства следствий из теоремы Пифагора. Эти доказательства просты и в явном виде в учебном пособии отсутствуют. При разборе этих доказательств в классе можно предложить учащимся записать их в тетради.

Ещё одним подходом к изучению теоремы Пифагора, является метод проблемной ситуации на уроках геометрии.

Учебный процесс совершается более активно в тех случаях, когда он связан с решением задач пробных ситуаций, а проблемы имеют мотивационную основу, включая живой интерес к предмету изучения. Мотивы стимулируют, организуют и направляют учебную деятельность. Значительный интерес представляет мотивация для организации процесса обучения и направления мыслительной деятельности учеников.

Проблемы, которые учитель может ставить перед учениками, обычно разрешаются на протяжении одного или нескольких уроков.

Наиболее часто учителя создают проблемные ситуации при помощи эксперимента, то есть исследования частного случая.

Легко организовать проблемную ситуацию, предложив ученикам задачи, для решения которых нужны новые знания. Полезно при этом поддерживать накал активности цепью проблемных вопросов, сменяющих один другой.

Перед изучением теоремы Пифагора рассматривается практическая задача, для решения которой нужно уметь вычислить длину гипотенузы по длинам катетов.

В качестве домашнего задания учитель может поручить ознакомиться с доказательством, данным в учебнике.

Цепь вопросов, связанных с зависимостью сторон прямоугольного треугольника:

«Справедлива ли теорема Пифагора для непрямоугольных треугольников?» – Очевидно, нет, так как две стороны треугольника a и b не определяют однозначно его форму, а третья сторона меняет свою длину в зависимости от значения угла между сторонами a и b так, что a – b < c< a + b (при b < a).

Следующая проблема: «Верна ли обратная теорема, обратная теореме Пифагора?»

Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, а именно: прямым является угол, лежащий против этой большой стороны. В самом деле, если бы это было не так и треугольник, стороны которого a, b и c связаны зависимостью

c² = a² + b², оказался бы не прямоугольным, то и стороны бы его не смогли бы удовлетворять этому равенству.

Весьма полезно попросить учащихся указать ряд случаев применения теоремы Пифагора.

Можно провести экскурс учащихся в историю, но небольшой, что бы учащимся не надоело слушать.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетом было установлено опытным путём на основе измерений. Пифагор, по-видимому нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древние предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже 100 быков. На протяжении последних веков были найдены различные другие доказательства этой теоремы. В настоящее время их насчитывается более ста.

Предлагаемые исторические материалы:

Прокл в своём комментарии к «Началам» Евклида пишет относительно предложения о том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, следующее: «Если слушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придётся сказать, что эта теорема восходит к Пифагору. Рассказывают, что в честь этого открытия он принёс в жертву быка». То же подтверждает другой греческий историк – Плутарх (1 век). На основе этих данных долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна и называли её поэтому «теорема Пифагора». Однако установлено, что эта важнейшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора.

О том, что треугольник со сторонами 3; 4; и 5 есть прямоугольный, знали за 2000 лет до н.э. египтяне, которые пользовались этим отношением для построения прямых углов при строительстве. В Китае предложение о квадрате гипотенузы было известно за 500 лет до Пифагора. Эта теорема была известна и в Древней Индии.

Знакомство с биографией Пифагора, с пифагоровыми числами.

Несколько старинных задач на теорему Пифагора.

1. Задача арабского математика, 11 век.

«На обоих берегах реки растёт по пальме, одна против другой. Высота одной – 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами; они кинулись к ней разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?»

Ответ: 20 локтей. (Локоть равен расстоянию от локтя до конца среднего пальца)

2) На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. Угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Оказалось три фута всего от ствола.
Прошу тебя, мне поскорее скажи:
У тополя как велика высота?

Бхаскара "Венец системы" 1150 г.

3) Путешествие шмеля.

Шмель отправляется в дальнее путешествие. Из родного гнезда он летит прямо на юг, пересекает речку и наконец после целого часа пути спускается на косогор, покрытый душистым клевером. Здесь, перелетая с цветка на цветок, шмель остается полчаса.

Теперь надо посетить сад, где шмель вчера заметил цве­тущие кусты крыжовника. Сад лежит на запад от косогора, и шмель спешит прямо туда. Спустя /4 часа он был уже в саду. Крыжовник в полном цвету, и, чтобы посетить все кусты, понадобилось шмелю 1 /2 часа. А затем, не отвле­каясь в стороны, шмель кратчайшей дорогой полетел до­мой, в родное гнездо.

4) Задача арабского математика 9 века

На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись ккк ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба?

5) Задача из учебника «Арифметика» Леонтия Магницкого.

Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете стену долготью 125 стоп. И ведати хочет Колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать.

Классификация методов доказательства теоремы Пифагора:

1) алгебраический метод – через подобие и равенство треугольников, используя косинусы углов и.т.д.(доказательство Пифагора, Мельманна, Гарфилда)

2) метод разложения – разложение чертежей на треугольники и квадраты, работа с разными представлениями прямоугольных треугольников(Эпштейн, Нильсен, Бетхер).

АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть АВС — данный прямоуголь­ный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 7).

По определению косинуса угла (Косинусом острого угла прямоугольного треугольника назы­вается отношение прилежащего катета к гипотенузе) соsА=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB*AD=AC². Аналогично соsВ=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB*BD=ВС². Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD+DB=AB, получим:

АС²+ВС²=АВ(AD + DB)=АВ². Теорема доказана.

Метод разложения:

Пусть Т— прямоугольный треугольник с катетами а, b и гипотенузой с (рис. 6, а). Докажем, что с²=а²+Ь².

Построим квадрат Q со стороной а+Ь (рис. 6, б). На сторонах квадрата Q возьмем точки А, В, С, D так, чтобы отрезки АВ, ВС, CD, DA отсекали от квадрата Q прямоуголь­ные треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ с катетами а и b. Четырех­угольник ABCD обозначим буквой Р. Покажем, что Р — квадрат со стороной с.

Все треугольники Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ равны треугольнику Т (по двум катетам). Поэтому их гипотенузы равны гипотенузе треугольника Т, т. е. отрезку с. Докажем, что все углы этого четырехугольника прямые.

Пусть a и b— величины острых углов треугольника Т. Тогда, как вам известно, a+b= 90°. Угол у при вершине А четырехугольника Р вместе с углами, равными a и b, состав­ляет развернутый угол. Поэтому a+b=180°. И так как a+b= 90°, то g = 90°. Точно так же доказывается, что и остальные углы четырехугольника Р прямые. Следователь­но, четырехугольник Р — квадрат со стороной с.

Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из квадрата Р со стороной с и четырех треугольников, равных треуголь­нику Т. Поэтому для их площадей выполняется равенство S(Q)=S(P)+4S(T).

Так как S(Q)=(a+b) ²; S(P)=c² и S(T)=1/2(ab), то, подставляя эти выражения в S(Q)=S(P)+4S(T), получаем равенство

(a+b) ²=c²+4*(1/2)ab. Поскольку (a+b)²=a²+b²+2ab, то равенство (a+b)²=c²+4*(1/2)ab мож­но записать так: a²+b²+2ab=c²+2ab.

Из равенства a²+b²+2ab=c²+2ab следует, что с²=а²+Ь².

Отказываясь от тех или иных условий, можно получить разные обобщения теоремы Пифагора.

Заменяем квадраты

Прежде всего, можно заменить квадраты, построенные на сторонах прямоугольного треугольника, любыми подобными друг другу многоугольниками и вообще, произвольными фигурами, для которых стороны данного треугольника служат соответственными отрезками. Например, площадь правильного треугольника, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей правильных треугольников, построенных на катетах.

Отказываемся от прямоугольности

На самом деле, эта теорема есть не что иное, как знакомая вам теорема косинусов:

с²= a²+ b²– 2ab cos C,

Теорема Паппа

Папп Александрийский сумел обобщить теорему Пифагора на случай произвольного треугольника, на двух сторонах которого построены произвольные же параллелограммы: если на сторонах BC и CA

треугольника ABC вне его построены параллелограммы таким образом, что их стороны, параллельные BC и CA, проходят через вершины третьего параллелограмма, построенного на AB по одну сторону с треугольником, то площадь третьего параллелограмма равна сумме площадей первых двух.

Существует несколько пространственных обобщений теоремы Пифагора.

Пространственная теорема Пифагора: если все плоские углы при одной из вершин тетраэдра - прямые, то квадрат площади грани, противолежащей этой вершине, равен сумме квадратов площадей остальных граней.

В стереометрии известен аналог теоремы Пифагора для треугольного параллелепипеда d²=a²+b²+c², где d- диагональ параллелепипеда a,b,c – величина трех его измерений.