Значение числа ? с более чем 1500 знаками

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582

Когда Евклид отважился рассмотреть проблему иррациональности в десятом томе «Начал», его цель состояла в том, чтобы доказать существование числа, не представимого в виде обыкновенной дроби. Вместо того, чтобы доказывать иррациональность числа?, Евклид рассмотрел квадратный корень из двух,?2, — число, которое при умножении на себя дает число 2. Чтобы доказать, что число?2 не представимо в виде обыкновенной дроби, Евклид воспользовался доказательством от противного и предположил, что число?2 представимо в виде обыкновенной дроби. Затем он показал, что эту гипотетическую дробь всегда можно упростить. Упрощение дроби означает, что числитель и знаменатель можно поделить на одно и то же целое число. Например, дробь 8/12 можно упростить, сократив числитель и знаменатель на 2 и превратив ее в дробь 4/6. В свою очередь, дробь 4/6 можно упростить до 2/3, а вот дробь 2/3 уже дальнейшему упрощению не поддается, почему и называется несократимой дробью. Евклид показал, что гипотетическая дробь, по предположению представляющая число?2, может быть упрощаема снова и снова бесконечное число раз, но так и не приводится к несократимому виду. Но это нелепо, так как все дроби приводимы к несократимому виду. Следовательно, гипотетическая дробь не может существовать. Это означает, что число?2 не представимо в виде дроби и, следовательно, иррационально. Ход доказательства Евклида приведен в Приложении 2.

Используя доказательство от противного, Евклид сумел доказать существование иррациональных чисел. До Евклида все числа, с которыми люди имели дело, были представимы как целые числа или обыкновенные дроби, но евклидовы иррациональные числа игнорировали традиционное представление чисел. Не существует иного способа описать число, равное квадратному корню из 2, как записав его в виде?2, поскольку его нельзя представить в виде обыкновенной дроби, а любая попытка записать?2 в виде десятичной дроби не позволяет получить ничего, кроме приближения, например, 1,414213562373…

Хотя Евклид, несомненно, питал интерес к теории чисел, его величайший вклад в математику был сделан в другой области. Истинной страстью Евклида была геометрия, и из тринадцати книг, составляющих «Начала», книги I–VI посвящены планиметрии (двумерной геометрии), а книги XI–XIII — стереометрии. Этот свод геометрических знаний был настолько полным, что содержание «Начал» составляло основу программ по геометрии в школах и университетах на протяжении следующих двух тысяч лет.

Математиком, составившим подобный свод знаний по теории чисел, стал Диофант Александрийский, последний защитник греческой традиции. Хотя достижения Диофанта в теории чисел достаточно задокументированы в его книгах, по существу ничего больше об этом замечательном математике не известно. Не известно, где он родился. В Александрию Диофант мог прибыть в любое время на протяжении «окна», протяженностью в пять веков! В своих сочинениях Диофант цитирует Гипсикла, из чего можно сделать вывод, что Диофант жил после 150 года до н. э.; с другой стороны, труды самого Диофанта цитирует Теон Александрийский, из чего следует, что Диофант жил до 364 года н. э. Разумной обычно считается дата — около 250 года н. э. Достоверно известно лишь своеобразное жизнеописание Диофанта. По преданию, оно было высечено на его надгробии в виде задачи-головоломки, словно специально предназначенной любителям математики:

«Бог ниспослал ему быть мальчиком шестую часть жизни; добавив к сему двенадцатую часть, Он покрыл его щеки пушком; после седьмой части Он зажег ему свет супружества и через пять лет после вступления в брак даровал ему сына. Увы! Несчастный поздний ребенок, достигнув меры половины полной жизни отца, он был унесен безжалостным роком. Через четыре года, утешая постигшее его горе наукой о числах, он [Диофант] завершил свою жизнь».

Требовалось вычислить продолжительность жизни Диофанта. Решение этой задачи приведено в Приложении 3.

Эта головоломка может служить примером задач того рода, которые любил Диофант. Он специализировался на решении задач в целых числах. Ныне такие задачи известны под названием диофантовых. Деятельность Диофанта протекала в Александрии, он собирал известные и придумывал новые задачи, а позднее объединил их в большом труде под названием «Арифметика». Из тринадцати книг, входивших в состав «Арифметики», только шесть пережили хаос Средних веков и стали источником вдохновения для математиков эпохи Возрождения, в том числе и для Пьера де Ферма. Остальные семь книг погибли в результате цепочки трагических событий, которые отбросили математику к временам древних вавилонян.

На протяжении столетий, разделяющих Евклида и Диофанта, Александрия продолжала оставаться интеллектуальной столицей цивилизованного мира, но весь этот период великий город находился под угрозой нападения иностранных армий. Первое крупное нападение произошло в 47 году до н. э., когда Юлий Цезарь предпринял попытку сбросить Клеопатру с трона, предав сожжению александрийский флот. Библиотека, расположенная неподалеку от гавани, сильно пострадала от пожара. Сотни тысяч книг погибли. К счастью для науки, Клеопатра по достоинству ценила значение Библиотеки и решительно вознамерилась восстановить ее в прежней славе. Марк Антоний понял, что путь к сердцу просвещенной царицы лежит через Библиотеку, и пошел маршем на Пергам. В этом городе уже была заложена своя библиотека. Правители города надеялись, что со временем она станет самым богатым книгохранилищем в мире, но Марк Антоний помешал сбыться этим надеждам, отправив все собрание книг в Египет и восстановив тем самым главенство Александрии.

На протяжении четырех следующих веков Библиотека продолжала пополнять свою коллекцию — до 389 года н. э., когда ей был нанесен первый из двух роковых ударов. Причиной обоих ударов стал религиозный фанатизм. Византийский император Феодосий приказал епископу Александрийскому Теофилу разрушить все языческие монументы. К сожалению, восстанавливая и восполняя Библиотеку, Клеопатра решила отвести под нее храм Сераписа. По приказу императора, это здание было разрушено, а «языческие» ученые, пытавшиеся спасти рукописи, накопленные за шесть веков, растерзаны толпой фанатиков. Началась мрачная эра Средних веков.

Несколько драгоценных экземпляров наиболее важных книг пережили бойню, учиненную христианами, и ученые продолжали наведываться в Александрию в поисках знания. Но в 642 году последовало нападение мусульман. На этот раз поражение потерпели христиане. На вопрос, что делать с Библиотекой, одержавший победу халиф Омар заявил, что книги, противоречащие Корану, должны быть уничтожены как вредоносные, а книги, согласующиеся с Кораном, также должны быть уничтожены как излишние. Рукописи были брошены в печи, которыми отапливались публичные бани, и греческая математика обратилась в дым. Не удивительно, что большая часть «Арифметики» Диофанта оказалась уничтоженной. Следует считать чудом, что шесть книг «Арифметики» смогли уцелеть, пережив трагедию Александрии.

Следующую тысячу лет математика на Западе пребывала в упадке, и только несколько выдающихся ученых Индии и Аравии не дали ей окончательно угаснуть. Они скопировали формулы из сохранившихся греческих математических рукописей и принялись заново придумывать для этих формул утраченные теоремы. Кроме того, они пополнили математику новыми элементами и среди прочего изобрели число нуль.

В современной математике нуль выполняет две функции. Во-первых, нуль позволяет нам различать такие числа, как 52 и 502. В системе счисления, в которой положение цифры определяет ее значение, символ 0 необходим для обозначения пустой позиции. Например, 52 означает 5 раз по десять плюс 2 раза по единице, в то время как 502 означает 5 раз по сто, 0 раз по десять и 2 раза по единице. Нуль играет решающую роль при устранении неоднозначности. Даже вавилоняне, жившие за три тысячи лет до н. э., оценили использование нуля во избежание путаницы, и греки восприняли идеи вавилонян, используя кружок, похожий на тот символ нуля, который мы используем сегодня. Однако нуль выполняет еще одну, более деликатную и значительную, функцию, которую полностью оценили лишь через несколько столетий индийские математики. Они осознали, что нуль не только позволяет заполнить пробел между значащими цифрами, но и существует сам по себе, независимо от других чисел. Так абстрактное понятие «ничего» впервые обрело свой осязаемый символ.

Современному читателю изобретение нуля может показаться тривиальным шагом, но не следует забывать о том, что именно вторая, более глубокая функция нуля ускользнула от внимания всех древнегреческих философов, в том числе Аристотеля. По мнению Аристотеля нуль должен был быть объявлен вне закона, поскольку он нарушал единообразие других чисел: деление обыкновенного числа на нуль приводило к непостижимому результату. К VI веку индийские математики уже не заметали проблему нуля под ковер, а индийский ученый VII века Брахмагупта оказался уже настолько искушенным, что использовал деление на нуль для определения бесконечности.

В то время как Европа оставила благородный поиск истины, Индия и Аравия укрепляли знание, тайно похищенное на пепелище Александрии, и излагали его на новом, более выразительном языке. Индийские и арабские математики не только пополнили математический словарь нулем, но и заменили примитивные греческие символы и неуклюжие римские числительные общепринятой и ныне системой счисления. Последнее достижение, как и введение нуля, может показаться ничтожно малым продвижением, но попробуйте умножить CLV на DCI, и вы оцените значение этого прорыва: эквивалентная задача умножения 155 на 601 гораздо проще. Развитие любой научной дисциплины зависит от ее способности развивать свои идеи и обмениваться ими, а это в свою очередь определяется научным языком, который должен быть достаточно подробным и гибким. Идеи Пифагора и Евклида отличались большим изяществом, несмотря на грубое и неуклюжее оформление, но после перевода в арабскую символику они расцвели и принесли много плодов, породив новые и богатые понятия.

В X веке французский ученый Герберт Аврилакский перенял новую систему счисления у испанских мавров и, занимаясь преподаванием в церквах и школах по всей Европе, внедрил новую систему на Западе. В 999 году он был избран папой Сильвестром II, и это позволило ему способствовать еще большему распространению новых индо-арабских цифр. И хотя необычная эффективность новой системы счисления произвела подлинный переворот в выполнении всех счетных операций и была быстро воспринята купцами, она слабо способствовала оживлению европейской математики.

Жизненно важным, поворотным пунктом в развитии западной математики стал 1453 год, когда турки разграбили Константинополь. За прежние годы рукописи, спасенные после уничтожения Александрии, нашли убежище в Константинополе, и теперь снова оказались под угрозой уничтожения. Византийские ученые бежали на запад, прихватив с собой те тексты, которые могли унести. Пережив нападения Цезаря, епископа Теофила, халифа Омара, а теперь еще и турок, несколько драгоценных книг «Арифметики» Диофанта проделали обратный путь в Европу. Судьба распорядилась так, чтобы сочинение Диофанта оказалось на письменном столе Пьера де Ферма.¶Рождение проблемы¶ Судебные обязанности Ферма поглощали значительную часть его времени, а те скудные часы досуга, которые все же оставались, Ферма целиком посвящал математике. Отчасти это объяснялось тем, что во Франции XVII века не поощрялись светские связи судей.

Считалось, что друзья и светские знакомые судей сами могут оказаться под судом, и тогда личные связи могут помешать осуществлению правосудия. Изолированный от остальной части высшего общества Тулузы, Ферма мог сосредоточиться на своем любимом занятии.

¶ ¶ Фронтиспис перевода «Арифметики» Диофанта выполненного Клодом Гаспаром Баше и опубликованного в 1621 году. Эта книга во многом вдохновила Ферма на его исследования

Не сохранилось никаких документальных свидетельств того, что у Ферма был учитель математики, который поощрял своего способного ученика. Наставником и учителем Ферма стала «Арифметика» Диофанта. В «Арифметике» теория чисел, как было принято во времена Диофанта, излагалась в виде ряда задач и их решений. В действительности Диофант развернул перед Ферма картину целого тысячелетия, заслуживающего осмысления со стороны математика. В одной «Арифметике» Ферма мог найти все, что было известно о числах благодаря трудам последователей Пифагора и Евклида. Теория чисел замерла после варварского сожжения Александрии, но Ферма преисполнился решимости возродить изучение самой фундаментальной из всех математических дисциплин.

Книга, вдохновившая Ферма, была латинским переводом «Арифметики», выполненным Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком, считавшимся самым ученым человеком во всей Франции. Блестящий лингвист, поэт и знаток классических языков и литературы, Баше питал любовь к математическим задачам-головоломкам. Его первой публикацией был сборник занимательных задач под названием «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres». В сборнике были задачи о переправах через реку, переливании жидкостей и несколько фокусов с отгадыванием задуманного числа. Одна из задач ставила вопрос о подборе гирь: «Каков наименьший набор гирь, который позволит взвесить любой груз весом от 1 до 40 кг?»

Баше нашел остроумное решение задачи, показывающее, что удовлетворить ее требованиям можно, располагая набором всего лишь из четырех гирь. Решение Баше приводится в Приложении 4.

Хотя Баше был в математике всего лишь дилетантом, его интерес к задачам-головоломкам был настолько велик, что позволил ему осознать: задачи, приведенные в «Арифметике» Диофанта, — не просто головоломки и требуют более глубокого изучения. Баше поставил перед собой задачу перевести труд Диофанта и опубликовать его с тем, чтобы вдохнуть в методы греческих математиков новую жизнь. Следует иметь в виду, что подавляющее большинство достижений древних математиков было полностью забыто. Высшую математику не изучали даже в самых крупных европейских университетах, и только благодаря таким ученым, как Баше, она стала быстро возрождаться. Публикация в 1621 году выполненного Баше латинского перевода «Арифметики» Диофанта была его вкладом в начало второго золотого века в истории математики.

В «Арифметике» собраны сотни задач, и каждую из них Диофант снабдил подробным решением. Ферма не перенял столь высокий уровень доступности. Его совсем не интересовало создание учебника для будущих поколений. Он жаждал лишь одного — получить удовлетворение от решенной им задачи. Изучая задачи и решения Диофанта, Ферма черпал в них вдохновение и стал помышлять о том, чтобы самому заняться решением аналогичных и более тонких задач. Ферма записывал для себя лишь самое необходимое для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, и не заботился о том, чтобы изложить остальную часть доказательства. Чаще всего сделанные им торопливые записи отправлялись прямиком в мусорную корзину, после чего Ферма спокойно переходил к следующей задаче. К счастью для нас, опубликованный Баше латинский перевод «Арифметики» имел широкие поля, и иногда Ферма торопливо записывал на них ход своих рассуждений и свои комментарии. Эти заметки на полях стали бесценными, хотя и несколько отрывочными, документальными свидетельствами некоторых наиболее блестящих выкладок Ферма.

Одно из открытий Ферма касается так называемых дружественных чисел, тесно связанных с совершенными числами, так восхитившими Пифагора двумя тысячами лет раньше. Дружественными числами называются два числа, каждое из которых равно сумме делителей другого числа. Пифагорейцы совершили необычайное открытие, установив, что 220 и 284 — дружественные числа. Делителями числа 220 служат числа 1, 2, 4,5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110, а их сумма равна 284. С другой стороны, делителями числа 284 служат числа 1, 2, 4, 71, 142; их сумма равна 220.

Пару чисел 220 и 284 стали считать символом дружбы. Мартин Гарднер в книге «Математические новеллы» рассказывает о том, что в Средние века имели хождение талисманы с выгравированными на них числами 220 и 284, якобы способствующими укреплению любви. Некий арабский нумеролог сообщает об обычае вырезать числа 220 и 284 на плодах, один из которых влюбленный съедал сам, а другой давал съесть предмету своей страсти, как своего рода математическое средство усиления любовного влечения. Первые теологи отмечали, что в Книге Бытия Иаков отдает в подарок брату своему Исаву 220 животных — «двести коз, двадцать козлов». По мнению теологов, число животных, равное одному из чисел, образующих дружественную пару, свидетельствует о любви Иакова к Исаву.

Помимо 220 и 284 других дружественных чисел не было известно вплоть до 1636 года, когда Ферма обнаружил пару 17 296 и 18 416. И хотя это открытие нельзя назвать важным, оно свидетельствует о том, что Ферма хорошо знал натуральные числа и любил «играть» с ними. Ферма стал своего рода законодателем моды на нахождение дружественных чисел. Декарт открыл третью пару (9 363 584 и 9 437 056), а Леонард Эйлер продолжил список дружественных чисел до 62-й пары. Интересно отметить, что Декарт и Эйлер «проглядели» гораздо меньшую пару дружественных чисел. В 1866 году шестнадцатилетний итальянец, тезка великого скрипача, Никколо Паганини открыл пару 1184 и 1210.

В XX веке математики обобщили понятие дружественных чисел и занялись поиском так называемых «общительных» чисел — замкнутых циклов из трех и более чисел. Например, в тройке чисел

(1 945 330 728 960; 2 324 196 638 720; 2 615 631 953 920)

делители первого числа в сумме дают второе число, делители второго в сумме дают третье число, а делители третьего числа в сумме дают первое число. Самый длинный из известных циклов состоит из 28 общительных чисел, первое из которых равно 14 316.

Хотя открытие новой пары дружественных чисел сделало Ферма своего рода знаменитостью, его репутация выросла еще больше благодаря серии решенных им трудных задач.

Например, Ферма заметил, что число 26 «стиснуто» между числами 25 и 27, одно из которых представляет собой квадрат (25 = 5 2= 5·5), а другое — куб (27 = 3 3== 3·3·3). Ферма занялся поиском других чисел, зажатых между квадратом и кубом, но найти ничего так и не удалось. Родилось подозрение, что число 26 единственное. После многодневных напряженных поисков Ферма удалось выстроить сложное доказательство, не оставлявшее сомнений в том, что 26 — действительно единственное число, заключенное между квадратом и кубом. Предложенная им цепочка логических доводов убедительно свидетельствовала, что ни одно другое число не обладает этим свойством.

Ферма сообщил об уникальном свойстве числа 26 математическому сообществу и бросил вызов, предложив доказать это. Ферма открыто признал, что располагает доказательством установленного им свойства. Вопрос был в том, хватит ли у других математиков сообразительности, чтобы справиться с предложенной задачей? Несмотря на простоту формулировки, решение задачи (доказательство утверждения) оказалось чрезвычайно трудным — можно сказать, недружественным по отношению к тем, кто пытался найти его, и Ферма доставляло особое удовольствие подтрунивать над английскими математиками Валлисом и Дигби, которые в конце концов были вынуждены признать свое поражение.

События развивались так, что величайшей «заявкой» Ферма на непреходящую славу оказался еще один вызов, брошенный им всему остальному миру. Но это была случайная задача-головоломка, не предназначавшаяся для публичного обсуждения.¶Заметка на полях¶ При чтении II-й книги «Арифметики» Ферма наткнулся на целую серию наблюдений, задач и решений, связанных с теоремой Пифагора и пифагоровыми тройками. Например, Диофант рассматривал существование особых троек, образующих так называемые «хромые треугольники», у которых две более короткие стороны x и y отличаются по длине только на единицу (например, x = 20, y = 21, z = 29 и 202 + 212 = 292).

Ферма был поражен разнообразием и обилием пифагорейских треугольников. Он знал, что за много веков до него Евклид доказал (общий ход предложенного Евклидом доказательства см. в Приложении 5), что число пифагоровых троек бесконечно велико. Возможно, Ферма просматривал в очередной раз подробное изложение теории пифагоровых троек у Диофанта и прикидывал, нельзя ли сказать что-нибудь новое по этому поводу. Записывая то так, то эдак уравнение Пифагора, Ферма все старался заметить нечто такое, что ускользнуло от древних греков. Внезапно ему пришла в голову гениальная мысль, обессмертившая имя «князя любителей»: Ферма придумал уравнение, очень похожее на уравнение Пифагора, но не имевшее ни одного решения в целых числах! Именно об этом уравнении и узнал десятилетний Эндрю Уайлс, заглянув в книгу Белла, взятую в публичной библиотеке на Милтон-роуд.

Вместо уравнения Пифагора x 2+ y 2= z 2Ферма занялся рассмотрением его варианта x 3+ y 3= z 3. Ферма всего лишь изменил степень на единицу, но его новое уравнение, насколько можно было судить, вообще не допускало никаких решений в целых числах. «Методом проб и ошибок» нетрудно было обнаружить, что найти два куба, которые бы в сумме давали еще один куб, не так-то просто. Неужели произведенное Ферма незначительное изменение действительно превращает уравнение, допускающее бесконечно много решений в целых числах, в уравнение, не имеющее ни одного решения в целых числах?

Ферма подверг уравнение Пифагора еще большему изменению, попробовав заменить степень 2 на целые числа б?льшие 3, и обнаружил, что найти решение в целых числах каждого из этих уравнений столь же трудно. И Ферма решил, что вообще не существует трех целых чисел x, y, z, которые удовлетворяли бы уравнению¶ x n + y n = z n, где n = 3,4,5…¶ На полях «Арифметики» Диофанта, рядом с задачей 8, Ферма оставил такое замечание: «Cubet autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere».

¶ ¶ Фронтиспис издания «Арифметики» Диофанта опубликованного Клеманом-Самюэлем Ферма в 1670 году. В этом варианте были напечатаны и заметки на полях, оставленные отцом издателя — Пьером де Ферма

¶ ¶

Рис. 6. Страница издания «Арифметики» Диофанта (1670 г.), содержащая знаменитое замечание Пьера де Ферма

Не было причин, по которым среди всех целых чисел не должно было бы существовать по крайней мере одной тройки целых чисел, удовлетворяющих уравнениям Ферма, тем не менее Ферма утверждал, что во всем бесконечном мире чисел нет ни одной «тройки Ферма». Утверждение было весьма необычным, но Ферма полагал, что располагает его доказательством. После первой заметки на полях, наметившей общие контуры теории, гений, любящий позабавиться над коллегами-математиками, начертал еще один комментарий, над которым впоследствии ломало голову не одно поколение математиков:

«Cuius rei demonstrationem mirabilem sane setex hanc marginis exiguitas non caparet». В этом — весь Ферма, все то, что особенно раздражало современных ему математиков. Из его собственных слов можно заключить, что он весьма доволен своим «поистине удивительным» доказательством, но ему и в голову не приходит дать себе труд написать подробности доказательства и уж тем более опубликовать его. Он так никому и не рассказал о своем доказательстве, но, несмотря на характерную для Ферма комбинацию лени и скромности, Великая теорема Ферма, как ее стали называть позднее, обрела неслыханную славу в грядущих веках.¶Великая проблема, наконец, опубликована¶ Свое знаменитое открытие Ферма совершил в самом начале своей математической карьеры — около 1637 года. Примерно через тридцать лет, исполняя свои судебные обязанности в городе Кастре, Ферма тяжело заболел. 9 января 1665 года он подписал свой последний приговор и тремя днями позднее умер. Открытиям Ферма, все еще находившегося в изоляции от парижской математической школы и отнюдь не добрым словом поминаемого его разочарованными коллегами, грозило полное забвение. К счастью, старший сын Ферма, Клеман-Самюэль, сознававший все значение любимого увлечения отца, пришел к заключению, что его открытия не должны быть потеряны для всего мира. Всем, что мы знаем о замечательных открытиях Ферма в теории чисел, мы обязаны его сыну, и если бы не Клеман-Самюэль, загадка, известная под названием Великой теоремы Ферма, умерла бы вместе во своим создателем.

Пять лет Клеман-Самюэль собирал отцовские заметки и письма, изучал неразборчивые надписи на полях «Арифметики». Заметка на полях с формулировкой Великой теоремы Ферма была лишь одной из вдохновенных мыслей, начертанных на полях этой книги. Клеман-Самюэль взял на себя тяжкий труд опубликовать все эти заметки в специальном издании «Арифметики». В 1670 году он издал в Тулузе книгу под названием «Диофантова Арифметика, содержащая примечания П. де Ферма». В нее наряду с оригинальным текстом на древнегреческом языке и латинском переводом Баше вошли 48 примечаний, сделанных Ферма. Примечание, воспроизведенное на рис. 6, и было тем, которое стало впоследствии известно под названием Великой теоремы Ферма.

Когда «Примечания» Ферма стали известны более широкому научному сообществу, все поняли, что письма, которые он отправлял своим коллегам, были лакомыми кусочками из сказочного сокровища открытий. Примечания, сделанные рукой Ферма, содержат целую серию теорем. К сожалению, они были либо полностью лишены объяснений, либо сопровождались небольшим наброском доказательства. Часто в этих обрывках доказательств было достаточно изящных логических ходов, чтобы у математиков не оставалось сомнения в том, что Ферма располагал доказательствами. Что же касалось восполнения деталей, то оно всегда было вызовом, который математикам приходилось принимать.

Леонард Эйлер, один из величайших математиков XVIII века, предпринял попытку доказать одно из самых изящных примечаний Ферма — теорему о простых числах. Простым называется число, которое не имеет делителей — чисел, которые делили бы его без остатка, — кроме единицы и самого числа. Например, 13 — простое число, а 14 — не простое. Ни одно число не делит 13 без остатка, а 2 и 7 делят 14. Все простые числа подразделяются на числа, представимые в виде 4 n +1, и числа, представимые в виде 4 n –1, где n — некоторое целое число. Так, число 13 принадлежит к первой группе (13 = 4·3 + 1), а число 19 — ко второй группе (19 = 4·5–1). Теорема Ферма о простых числах утверждает, что простые числа первой группы всегда представимы в виде суммы двух квадратов (13 = 2 2+ 3 2), в то время как простые числа второй группы никогда в виде суммы двух квадратов не представимы (19 =? 2+? 2). Это свойство простых чисел формулируется изящно и просто, но все попытки доказать, что им обладает любое простое число, наталкиваются на значительные трудности. Для Ферма это доказательство было всего лишь одним из многих доказательств, хранимых им «приватно», для Эйлера восстановить доказательство стало делом чести. В 1749 году, после семи лет работы и почти через сто лет после смерти Ферма, Эйлеру удалось доказать эту теорему о простых числах.

В сокровищнице полученных Ферма результатов встречаются различные теоремы — от фундаментальных до чисто занимательных. Математики судят о важности теоремы по тому, какое влияние она оказывает на остальную математику. Во-первых, теорема считается важной, если она представляет собой некую универсальную истину, то есть если она верна для всей группы чисел. В случае теоремы Ферма о простых числах, теорема верна не только для некоторых простых чисел, а для всех простых чисел. Во-вторых, важная теорема должна раскрывать какую-нибудь более глубоко лежащую истину об отношениях между числами. Теорема может быть трамплином для создания целого сонма других теорем и даже стимулом для развития новых областей математики. Наконец, теорема считается важной, если существование целых областей исследования может оказаться под угрозой из-за отсутствия одного-единственного логического звена. Многие математики исходили бессильными слезами при мысли, что могли бы получить важный результат, если бы могли восстановить одно недостающее звено в цепочке логических рассуждений.

Поскольку математики используют теоремы как ступени, ведущие к другим результатам, было чрезвычайно важно доказать каждую из анонсированных Ферма теорем. Использовать Великую теорему только потому, что, по утверждению Ферма, он располагал ее доказательством, было невозможно. Прежде чем пустить Великую теорему в дело, ее необходимо было доказать со всей строгостью, иначе последствия могли быть самыми ужасными. Например, представьте себе математиков, которые приняли одну из теорем Ферма на веру. Эта теорема была бы включена ими как отдельный элемент в целую серию других, более обширных, доказательств. Со временем эти более обширные доказательства были бы включены в еще более обширные доказательства, и т. д. В результате появились бы сотни теорем, которые бы опирались на истинность той самой недоказанной, принятой на веру, теоремы. Но что если Ферма ошибся, и недоказанная теорема в действительности ложна? Все теоремы, в доказательствах которых была бы использована ложная теорема, также оказались бы ошибочными, и огромные разделы математики рухнули бы. Теоремы — фундамент математики: если истинность теорем установлена, то, опираясь на них, можно возводить, пребывая при этом в полной безопасности, новые теоремы. Необоснованные (недоказанные) идеи имеют бесконечно меньшую ценность и называются гипотезами. Любая логика, опирающаяся на гипотезу, сама гипотетична.

Ферма утверждал, что располагает доказательством любого из своих примечаний, поэтому для него все они были теоремами. Но до тех пор, пока математическое сообщество в целом не восстановит каждое доказательство, все утверждения, содержащиеся в примечаниях, рассматриваются лишь как гипотезы. На протяжении последних 350 лет Великую теорему Ферма правильнее было бы называть Великой гипотезой Ферма.

За прошедшие столетия одно за другим были доказаны все утверждения Ферма, содержавшиеся в примечаниях на полях «Арифметики» Диофанта, и только Великая теорема Ферма упорно не поддавалась усилиям математиков. Ее даже стали называть «последней теоремой Ферма», так как она осталась последним его примечанием, которое требовалось доказать. Триста лет все попытки найти ее доказательство одна за другой терпели поражение. Великая теорема ферма обрела известность как самая трудная «головоломка» математики. Но всеми признанная трудность проблемы не обязательно означает, что Великая теорема Ферма важна в том смысле, в каком это понимается выше. Великая теорема Ферма, по крайней мере вплоть до самого последнего времени, не удовлетворяла нескольким критериям: казалось, что если бы ее удалось доказать, то это не привело бы ни к какому сколько-нибудь заметному прогрессу в развитии теории чисел и не способствовало бы доказательству других гипотез.

Слава Великой теоремы Ферма обусловлена исключительно тем, что доказать ее необычайно трудно. Есть и еще один дополнительный стимул: «князь любителей» заявил, что располагает доказательством этой теоремы, над восстановлением которой с тех пор ломали голову поколения профессиональных математиков. Небрежные замечания Ферма на полях принадлежавшего ему экземпляра «Арифметики» Диофанта читались как вызов всему миру. Ферма доказал свою Великую теорему, удастся ли какому-нибудь математику превзойти или сравняться с ним по блеску ума?

Г.Г. Харди обладал весьма своеобразным чувством юмора. Как-то раз он задумался, что в математическом наследии прошлого могло бы сравниться с Великой теоремой Ферма по тщетности всех попыток найти доказательство. К найденному им аналогу Великой теоремы Ферма Харди обращался всякий раз, когда ему приходилось преодолевать страх перед морскими путешествиями. Для него это было своего рода страхованием от несчастного случая. Если Харди предстояло пересечь Атлантический океан на борту лайнера, он предварительно посылал кому-нибудь из коллег телеграмму следующего содержания:¶ ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК¶ Гипотеза Римана — проблема, которой математика «больна» с XIX века. Логика Харди состояла в том, что Бог не даст ему утонуть потому, что тогда математики устремились бы в погоню за еще одним неуловимым призраком.

Великая теорема Ферма — задача невероятно трудная, и тем не менее ее можно сформулировать так, что она станет понятной даже школьнику. Ни в физике, ни в химии, ни в биологии нет ни одной проблемы, которая формулировалась бы так просто и определенно и оставалась нерешенной так долго. В своей книге «Великая проблема» Э.Т. Белл высказал предположение, что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались огромные премии. Из-за Великой теоремы Ферма люди дрались на дуэли, а некоторые, отчаявшись найти доказательство, даже кончали с собой.

Статус Великой головоломки вышел за рамки замкнутого мира математики. В 1958 году Великая теорема Ферма проникла даже в легенду о Фаусте. В сборнике «Как иметь дело с дьяволом» была опубликована новелла Артура Порджеса «Дьявол и Саймон Флэгг». В ней дьявол обращается к профессору математики Саймону Флэггу с предложением задать ему, дьяволу, какой-нибудь вопрос. Если дьяволу удастся найти ответ за двадцать четыре часа, то он получает душу Саймона. В случае неудачи дьявол обязуется уплатить Саймону 100000 долларов. Саймон задает дьяволу вопрос: «Верна ли Великая теорема Ферма?» Дьявол исчезает и носится по свету, собирая по крохам все достижения математики. На следующий день он возвращается и признает свое поражение: «Вы выиграли, Саймон, — сказал дьявол, почтительно глядя на профессора. — Даже мне не под силу выучить всю математику, которая необходима для решения столь трудной задачи за столь короткое время. Чем глубже я погружаюсь в проблему, тем труднее она становится. Неединственное разложение на множители, идеальные числа… Да что зря говорить! Знаете, — признался дьявол, — даже самые лучшие математики на других планетах, а они, должен вам сказать, намного опередили ваших, не решили ее. Взять хотя бы того парня на Сатурне, что очень похож на гриб на ходулях. Он в уме решает дифференциальные уравнения в частных производных. Так даже он не справился с этой задачей».¶Глава 3. Позор математики¶ Математика — не церемониальный марш по гладкой дороге, а путешествие по незнакомой местности, где исследователи часто рискуют заблудиться. Строгость должна стать указанием для историка о том, что данная местность нанесена на карту, а настоящие исследователи отправились дальше.

У.С. Энглин ¶¶ «С тех пор, как я еще мальчиком впервые столкнулся с Великой теоремой Ферма, она стала моим увлечением на всю жизнь, — вспоминает Эндрю Уайлс, и его дрогнувший голос выдает тот трепет, с которым он относится к этой задаче. — Я обнаружил, что эта проблема оставалась нерешенной на протяжении трех столетий. Не думаю, чтобы многие из моих школьных друзей подхватили математическую лихорадку, поэтому я не стал обсуждать проблему Ферма с моими одногодками. Но мой учитель математики сам занимался исследованиями, и он дал мне книгу по теории чисел, из которой я почерпнул кое-какие указания относительно того, как приступить к решению проблемы. Прежде всего я решил (и принял это в качестве исходной гипотезы), что Ферма не мог знать намного больше математики, чем я. И я попытался найти его утерянное доказательство, используя те разделы математики, которые мог использовать он сам».

Уайлс был наивным ребенком, преисполненным честолюбивых замыслов, который мечтал достичь успеха там, где потерпели неудачу поколения математиков. Кому-нибудь другому такое намерение могло бы показаться глупой мечтой, но юный Эндрю был совершенно прав, полагая, что он, двенадцатилетний школьник, живущий в XX веке, знает математику в ничуть не меньшем объеме, чем Пьер де Ферма — гений, живший в XVII веке. В своей наивности он действительно мог наткнуться на доказательство, которое пропустили Другие, более искушенные, математики.

Но, несмотря на весь энтузиазм Эндрю, все его попытки доказать Великую теорему Ферма неизменно оканчивались неудачей.

Изрядно поломав голову и подробнейшим образом изучив школьные учебники, он не сумел добиться ничего. После года бесплодных поисков Эндрю решил изменить стратегию и попытаться извлечь что-нибудь полезное для себя из ошибок известных математиков. История Великой теоремы Ферма была необычайно романтичной. Много людей размышляли над ней, и не один великий математик в прошлом пытался доказать ее и потерпел неудачу, отчего Великая проблема становилась все большим вызовом и все большей тайной. «Многие математики XVIII и XIX веков. пытались самыми различными способами доказать Великую теорему Ферма, и я, мальчишка, решил изучить все эти методы и понять, что делали великие математики прошлого».

Юный Уайлс принялся изучать методы всех, кто когда-либо делал серьезную попытку доказать Великую теорему Ферма. И начал он с изучения трудов одного из наиболее плодовитых математиков в истории, которому удалось осуществить первый прорыв в битве с Великой теоремой Ферма.¶Математик-циклоп¶ ¶ Создание математики — занятие мучительное и таинственное. Объект доказательства часто бывает ясен, но путь к доказательству теряется в тумане, и математик бредет наощупь, производя выкладки и опасаясь, что каждый шаг может увлечь ход рассуждений в совершенно неверном направлении. Кроме того, всегда существует возможность того, что пути к доказательству вообще не существует. Решив, что некоторое утверждение истинно, математик может годами пытаться доказать его, хотя в действительности это утверждение ложно. По существу, математик в этом случае пытается доказать невозможное.

За всю историю математики лишь горстке математиков удалось избежать такого рода сомнений, которые страшили их коллег. Возможно, наиболее известным из математиков, не ведающих страха и упрека, был живший в XVIII веке математический гений Леонард Эйлер. Именно ему удалось совершить первый крупный прорыв к доказательству Великой теоремы Ферма. Эйлер обладал столь невероятной интуицией и такой обширной памятью, что, по преданию, мог держать в голове весь объем производимых вычислений, не прикасаясь пером к бумаге. Вся Европа называла его «прирожденным аналитиком», а французский академик Франсуа Араго сказал о нем: «Эйлер вычислял без видимых усилий, как люди дышат или как орлы парят в поднебесье».

Леонард Эйлер родился в Базеле в 1705 году в семье кальвинистского пастора Пауля Эйлера. Хотя юный Эйлер проявил недюжинный математический талант, его отец решил, что сын должен изучать теологию, и готовил ему церковную карьеру. Леонард повиновался отцовской воле и стал изучать теологию и древнееврейский язык в Базельском университете.

К счастью для Эйлера, Базель был родиной знаменитого клана Бернулли. Бернулли могли бы с полным основанием претендовать на звание самого математического рода: восемь представителей семьи Бернулли принадлежали к числу самых выдающихся умов Европы на протяжении всего лишь трех поколений. Говорили, что семья Бернулли стала для математики тем же, чем семья Баха была для музыки. Слава рода Бернулли распространилась за пределы математического сообщества, и одна легенда ярко рисует «профиль» семейства. Однажды Даниил Бернулли путешествовал по Европе и вступил в беседу с незнакомцем. Спустя какое-то время он скромно представился своему собеседнику: «Я — Даниил Бернулли». «А я, — саркастически ответил тот, — Исаак Ньютон». Даниил охотно вспоминал этот случай несколько раз, считая его самым искренним признанием своих заслуг, которое ему когда-либо довелось получать.

Даниил и Николай Бернулли были близкими друзьями Леонарда Эйлера, и они первыми поняли, что на их глазах происходит превращение блестящего математика в самого заурядного теолога. Они обратились к Паулю Эйлеру и упросили его разрешить Леонарду оставить теологию ради чисел. Эйлер-старший сам в прошлом изучал математику у старшего Бернулли, Якоба, и испытывал к семье Бернулли глубочайшее почтение. С большой неохотой Пауль Эйлер был вынужден признать, что его сын рожден не для молитв, а для вычислений.

Вскоре Леонард Эйлер покинул Швейцарию, сменив родной Базель на дворцы Берлина и Санкт-Петербурга, где он и провел б?льшую часть своей творческой жизни. В эпоху Ферма математиков считали любителями жонглировать числами, но к началу XVIII века их уже рассматривали как профессиональных «решателей задач». Культура чисел резко изменилась, и произошло это отчасти благодаря сэру Исааку Ньютону и его научным результатам.

Ньютон полагал, что математики лишь впустую тратят время, поддразнивая друг друга пустыми и никчемными задачами-головоломками. Вместо этого он вознамерился применять математику к физическому миру и вычислять все, что только можно, — от орбит планет до траекторий пушечных ядер. К тому времени, когда Ньютон умер (это произошло в 1727 году), в Европе произошла научная революция. В тот же год Эйлер опубликовал свою первую работу. И хотя она содержала изящные и свежие математические идеи, ее главная цель состояла в описании решения одной технической проблемы, связанной с постановкой мачт на парусных кораблях.

Европейские державы не были заинтересованы в использовании математики для изучения эзотерических и абстрактных понятий; математика была им необходима для решения практических проблем, и правительства состязались в привлечении к себе на службу лучших умов. Эйлер начал свою математическую карьеру в России, затем его пригласил в Берлинскую академию король Пруссии Фридрих Великий. В царствование Екатерины Великой Эйлер вернулся в Россию, где он и провел последние годы жизни. За годы своей деятельности Эйлер решил множество задач из самых различных областей — от навигации до финансов, от акустики до ирригации. Практический мир решения насущных проблем не притупил математические способности Эйлера. Наоборот, для решения каждой новой проблемы Эйлер изобретал новый остроумный математический подход. Столь «односторонняя» направленность его ума приводила к тому, что в иной день Эйлеру случалось писать по несколько работ. Рассказывают, что между первым и вторым приглашением к обеденному столу Эйлер как-то раз попытался выполнить вычисления, заслуживающие публикации. Эйлер не терял ни минуты. Укачивая одной рукой младенца в колыбели, он другой рукой набрасывал доказательство теоремы.

Одним из величайших достижений Эйлера стала разработка алгоритмического мышления. Отличительная особенность эйлеровских алгоритмов состояла в том, что они предназначались для решения проблем, казавшихся неразрешимыми. Одной из таких проблем было высокоточное предсказание фаз Луны — информация о фазах Луны имела жизненно важное значение для составления таблиц, необходимых для мореплавания. Еще Ньютон показал, что можно сравнительно легко предсказывать орбиту одного тела, обращающегося вокруг другого, но в случае Луны ситуация не столь проста.

Луна обращается вокруг Земли, но третье тело — Солнце — существенно усложняет картину. Земля и Луна притягивают друг друга, а Солнце возмущает положение Земли и сталкивает Луну с ее идеальной орбиты вокруг Земли. Уравнения позволяли описать поведение Земли и Луны, но математики XVIII века не умели учитывать в своих вычислениях влияние третьего тела. Даже сегодня невозможно предсказать, как будет вести себя точное решение этой задачи (класс таких задач называется «задачей трех тел»). Эйлер понял, что мореплавателям нет необходимости знать фазу Луны с абсолютной точностью — вполне достаточно такой точности, которая позволяет определить положение судна с точностью до нескольких морских миль. И он разработал рецепт, позволяющий получать не идеальное, а достаточно точное решение. Такой рецепт, называемый алгоритмом, позволяет получить сначала весьма приближенное, грубое решение. Затем это решение можно ввести в качестве исходных данных в тот же алгоритм и получить уже более точное решение. В свою очередь, уточненное решение, если его также ввести в алгоритм, порождает еще более точное решение, и т. д. После ста или около того итераций Эйлер получил возможность определить положение Луны с точностью, достаточной для нужд мореплавания. Свой алгоритм Эйлер представил британскому Адмиралтейству и получил награду в триста фунтов стерлингов.

Эйлер заслужил репутацию человека, способного решить любую поставленную ему задачу, причем не только математическую. В бытность свою при дворе Екатерины Великой он встретил великого французского философа Дени Дидро. Тот был убежденным атеистом и пытался обратить в атеизм представителей русской знати. Разгневанная этим Екатерина обратилась к Эйлеру с просьбой пресечь деятельность французского безбожника.

Эйлер поразмыслил над просьбой императрицы и объявил, что располагает алгебраическим доказательством существования Бога. Екатерина Великая пригласила Эйлера и Дидро во дворец и собрала на теологический спор всех придворных. Эйлер встал перед аудиторией и заявил:¶ «Сир! (a + b n)/ n = x, следовательно Бог существует. Что Вы имеете возразить?»¶ Дидро не был силен в алгебре и не мог ничего возразить величайшему математику Европы. Ему оставалось только безмолвствовать. Потерпев унизительное поражение, он покинул Санкт-Петербург и вернулся в Париж. Эйлер же на какое-то время вернулся к занятиям теологией и опубликовал еще несколько шутливых доказательств относительно природы Господа Бога и человеческого духа.

Более «земная» задача, привлекшая внимание Эйлера, большого любителя головоломных проблем, связана с прусским городом Кёнигсбергом (ныне — российский город Калининград). Город стоит на берегах реки Прегили и состоит из четырех частей, соединенных между собой семью мостами. План города схематически изображен на рис. 7. Некоторые из любопытных жителей Кенигсберга заинтересовались, можно ли обойти все семь мостов, не переходя ни по одному из них дважды. Кое-кто из обитателей Кенигсберга попытался проложить различные маршруты, но ничего хорошего из этого не вышло. Эйлеру также не удалось обойти все семь кёнигсбергских мостов, побывав на каждом только один раз, но зато он сумел объяснить, почему сделать это невозможно.¶ ¶ Рис. 7. Река Прегиль делит Кёнигсберг на четыре несвязанные части A, B, C и D. Различные части города соединены между собой семью мостами. Можно ли обойти все семь мостов побывав на каждом один и только один раз?

¶ ¶ Рис. 8. Упрощенная схема семи кёнигсбергских мостов

Эйлер взял план города и заменил его упрощенной схемой, на которой части города изображены точками (узлами), а мосты — линиями (ребрами), как на рис. 8. Затем Эйлер стал рассуждать так. Чтобы существовал маршрут, позволяющий обойти ровно по одному разу все мосты, каждая точка на схеме должна принадлежать четному числу линий. Это связано с тем, что в середине обхода путешественник, проходя какую-то из частей города, должен войти в нее по одному мосту, а выйти — по другому. Из этого правила существуют лишь два исключения: когда путешественник начинает или завершает обход. В самом начале обхода путешественник покидает некую часть города, и для выхода из нее необходим только один-единственный мост. Если обход начинается и заканчивается в различных частях города, то число мостов, ведущих к каждой из них нечетно. Но если обход начинается и заканчивается в одной и той же части города, то соответствующая ей точка на схеме, как и все другие точки, должна принадлежать четному числу линий (т. е. эта часть города должна быть соединена с другими частями четным числом мостов).

Таким образом, заключил Эйлер, какой бы ни была сеть мостов, обойти все мосты, побывав на каждом по одному и только одному разу, можно только в том случае, если все части города соединены с другими четным числом мостов или если ровно две части города соединены с другими частями нечетным числом мостов. В Кенигсберге город подразделяется всего на четыре части, — и все они соединены с другими частями нечетным числом мостов. На схеме Кенигсберга три точки принадлежат трем линиям, а одна — пяти линиям. Тем самым Эйлер не только сумел объяснить, почему все семь кёнигсбергских мостов невозможно обойти, побывав на каждом один и только один раз, но и придумал правило, применимое к любой сети мостов в любом городе мира. Рассуждения Эйлера отличаются замечательной красотой. По-видимому, такого сорта логические задачи Эйлер и любил решать за обедом.

Задача о семи кёнигсбергских мостах принадлежит к числу так называемых задачах о графах в прикладной математике. Именно она побудила Эйлера к рассмотрению более абстрактных графов. В ходе своих исследований Эйлер открыл фундаментальную истину, относящуюся ко всем графам, — так называемую формулу Эйлера для графов, которую ему удалось доказать за несколько логических шагов. Формула Эйлера для графов выражает незыблемое соотношение между тремя элементами любой графа:¶ V — R + L = 1,¶ где

V — число вершин (узлов, или пересечений) в графе,

R — число линий (ребер) в графе,

L — число замкнутых областей в графе.

Таким образом, по утверждению Эйлера, если к числу вершин любого графа прибавить число замкнутых областей и вычесть число его ребер — результат всегда окажется равен единице. Например, все графы на рис. 9 удовлетворяют формуле Эйлера.¶ ¶ Вершины = 4¶Области = 3¶Линии = 6¶ ¶ Вершины = 6¶Области = 1¶Линии = 6¶ ¶ Вершины = 5¶Области = 10¶Линии= 6¶ Рис. 9. Различные графы, удовлетворяющие формуле Эйлера

¶ ¶ Рис. 10. Эйлер доказал свою формулу для графов, продемонстрировав, что она выполняется для простейшего графа, а затем показав, что формула остается верной при любых «дополнениях» к единственной вершине

Можно проверить формулу Эйлера на целой серии графов, и всякий раз она оказывается верной; возникает искушение предположить, что формула Эйлера верна для всех графов. И хотя такой проверки было бы достаточно для физической теории, для обоснования математической теории ее совершенно недостаточно. Единственный способ показать, что формула Эйлера остается в силе для любого мыслимого графа, — построить безупречное с точки зрения логики доказательство. Именно так и поступил Эйлер.

Свое доказательство Эйлер начал с простейшего из графов — с графа, состоящего из одной единственной вершины (рис. 10 а). Ясно, что для такого графа формула Эйлера верна: имеется всего одна вершина, линий и областей нет, поэтому

V + R — L = 1 + 0–0 = 1.

Затем Эйлер рассмотрел вопрос о том, что произойдет в том случае, если он что-нибудь добавит к этому простейшему графу. Любое добавление к нему требует добавления линии. Любая линия может соединять существующую вершину либо с самой собой, либо с какой-нибудь новой вершиной.

Во-первых, рассмотрим случай, когда дополнительная линия соединяет существующую вершину с самой собой. Как видно из рис. 10 б, при добавлении линии в этом случае добавляется также новая область. Следовательно, формула Эйлера для графов остается в силе, так как добавление одной области (+) компенсируется добавлением одной линии (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера для графов также останется в силе, так как каждая новая линия порождает новую область.

Во-вторых, рассмотрим, что произойдет, если дополнительная линия соединит существующую вершину с новой вершиной, как на рис. 10 в. И в этом случае формула Эйлера остается в силе, так как новая вершина (+) компенсирует новую линию (—). При добавлении новых линий того же типа формула Эйлера также остается в силе, поскольку каждая дополнительная линия рассматриваемого типа заканчивается в новой вершине.

Вот и все, что требовалось Эйлеру для его доказательства. Он рассуждал так. Формула верна для простейшего из всех графов — одной-единственной вершины. Все остальные графы, сколь бы сложными они ни были, могут быть построены из простейшего путем прибавления линий — по одной линии за один раз. Всякий раз при добавлении к графу новой линии формула остается верной, потому что вместе с линией добавляется либо новая вершина, либо новая область, и тем самым компенсируется добавление линии. Эйлер разработал простую, но мощную стратегию. Он доказал, что его формула верна для простейшего графа, состоящего из одной-единственной вершины, и что любая операция, приводящая к усложнению графа, не нарушает формулу для графов. Следовательно, формула верна для бесконечного множества всех возможных графов.

Впервые столкнувшись с Великой теоремой Ферма, Эйлер, должно быть, понадеялся на то, что ему удастся найти доказательство, если он будет придерживаться аналогичной стратегии. Великая теорема Ферма и формула Эйлера для графов уходят своими корнями в весьма различные области математики, но одна особенность у них была общей: они обе нечто утверждали относительно бесконечно многих объектов. Формула Эйлера утверждает, что для бесконечно многих графов, которые только существуют на свете, число вершин плюс число областей минус число линий всегда равно единице. Великая теорема Ферма утверждает, что бесконечно много уравнений не допускают решения в целых числах. Напомним, что теорема Ферма утверждает следующее: уравнение¶ x n + y n = z n, где n — любое целое число большее 2,¶ не допускает решения в целых числах.

Это уравнение в действительности представляет собой бесконечную систему уравнений

x 3+ y 3= z 3,

x 4+ y 4= z 4,

x 5+ y 5= z 5,

x6 + y 6= z 6,

x 7+ y 7= z 7,

......

Эйлер попытался выяснить, нельзя ли доказать, что одно из уравнений не допускает решений в целых числах, а затем экстраполировать полученный результат на все остальные уравнения (точно так же, как он доказал свою формулу для всех графов).

Первый шаг к осуществлению задуманного Эйлер совершил, когда обнаружил ключ к доказательству в кратких записях на полях «Арифметики» Диофанта. Хотя Ферма не оставил развернутого доказательства Великой теоремы, он в другом месте того же экземпляра «Арифметики» написал в зашифрованном виде доказательство для случая n =4, включив его в решение совершенно другой задачи. Это были самые подробные вычисления, которые Ферма когда-либо доверил бумаге, но всё же детали всё ещё были обрывочны и расплывчаты, а в заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо просматривался один из способов доказательства от противного, известный под названием метода бесконечного спуска.

Чтобы доказать, что уравнение x 4+ y 4= z 4не допускает решения в целых числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения в целых числах

x = X 1, y = Y 1, z = Z 1.

При изучении свойств чисел (X 1, Y 1, Z 1) Ферма показал, что если бы такое гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы меньшее решение (X 2, Y 2, Z 2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее решение (X 3, Y 3, Z 3) и т. д.

Ферма обнаружил нисходящую лестницу решений, которая теоретически могла бы продолжаться неограниченно, порождая все меньшие и меньшие решения. Но x, y и z должны быть целыми положительными (так называемыми натуральными) числами, поэтому нескончаемая нисходящая лестница невозможна, потому что должно быть наименьшее целочисленное решение. Полученное противоречие доказывает, что начальное предположение о существовании решения (X 1, Y 1, Z 1) было ложным. Итак, используя метод бесконечного спуска, Ферма доказал, что при n =4 уравнение x n + y n = z n не может иметь целочисленных решений.

Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве исходного пункта при построении общего доказательства для всех других степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну ступень» и получить доказательство при n =3. В письме к прусскому математику Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему Ферма для случая n =3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.

Чтобы распространить предложенное Ферма доказательство со случая n =4 на случай n =3, Эйлеру пришлось ввести в игру довольно причудливое понятие так называемого мнимого числа — величины, открытой европейскими математиками в XVI веке. Говорить о новых числах, что они были «открыты» довольно странно, но ощущение необычности возникает главным образом потому, что мы настолько привыкаем к постоянно и широко используемым числам, что забываем о временах, когда некоторые из этих чисел не были известны. И отрицательные, и иррациональные — все эти числа в свое время приходилось открывать, и мотивация в каждом случае сводилась к необходимости решить задачу, неразрешимую в уже известных числах.

История теории чисел начинается с обыкновенных чисел, используемых для счета — 1,2,3…, — известных под названием натуральных чисел. Эти числа идеально подходят для сложения простых целых величин, таких, как овцы или золотые монеты, чтобы узнать, сколько всего таких величин — их общее количество также есть целое число. Наряду со сложением еще одна простая операция, умножение, производимая над целыми числами, также порождает другие целые числа. Но операция деления приводит к довольно неприятной проблеме. При делении числа 8 на 2 мы получаем 4, но при делении числа 2 на 8 ответ получается равным 1/4. Результатом деления в последнем случае является не целое число, а дробь.

Деление — простая операция, выполняемая над натуральными числами — вынуждает нас выйти за пределы натуральных чисел. Для математика, по крайней мере, теоретически, немыслима ситуация, в которой нет ответа на вопрос, чему равен результат простой операции, производимой над целыми числами. Необходимость существования ответа называется полнотой. Не будь дробей, некоторые вопросы относительно целых чисел остались бы без ответа. Математики выражают это обстоятельство, говоря, что дроби необходимы для полноты.

Именно необходимость полноты вынудила индийских математиков открыть отрицательные числа. Индийские математики заметили, что если 3 вычесть из 5, то получится 2, а 5 вычесть из 3 не так просто. Ответ не мог быть получен в натуральных числах и понять его можно, только если ввести понятие отрицательного числа. Некоторые математики не приняли столь абстрактного обобщения натурального числа и отзывались об отрицательных числах как «нелепых» и «фиктивных». Пересчитывая золотые монеты, можно подержать в руке одну монету или даже полмонеты, но взять в руку «минус одну» монету решительно невозможно.

Древние греки были обуяны стремлением к полноте, и эта страсть привела их к открытию иррациональных чисел. В главе 2 мы уже обсуждали квадратный корень из 2. Греки знали, что это число приближенно равно 7/5, но когда они попытались найти точную дробь, равную?2, то обнаружили, что такой дробь не существует. Перед ними было число, не представимое в виде дроби, но этот новый тип числа был необходим, чтобы ответить на вопрос: «Чему равен квадратный корень из двух?» Требование полноты означало, что к империи чисел необходимо присоединить еще одну колонию.

К наступлению эпохи Возрождения математики стали думать, что открыли все мыслимые «сорта» чисел на свете. Все числа можно было считать расположенными на числовой оси в обе стороны прямой с нулем в центре, как на рис. 11. Целые числа располагались на числовой оси через равные промежутки, положительные простирались до плюс бесконечности справа от нуля, отрицательные — до минус бесконечности слева от нуля. Дроби располагались в промежутках между целыми числами, а иррациональные числа заполняли пробелы между дробями.¶ ¶ Рис. 11. Все числа можно расположить на числовой оси, простирающейся до бесконечности в обе стороны

Числовая ось наводила на мысль о том, что полнота достигнута. Все числа находились на своих местах, готовые ответить на все математические вопросы, — во всяком случае на числовой оси не оставалось свободных мест ни для каких новых чисел. Но в XVII веке снова начались неприятности. Итальянский математик Рафаэлло Бомбелли, занимаясь изучением квадратных корней из различных чисел, столкнулся с вопросом, не имевшим готового ответа.

Все началось с вопроса: «Чему равен квадратный корень из единицы, т. е. число?1?» Очевидный ответ гласит: единице, так как 1·1=1. Менее очевиден другой ответ: квадратный корень из единицы равен минус единице, т. е. числу –1. Отрицательное число при умножении на отрицательное число, дает положительное, в частности, (–1)·(–1) = 1. Следовательно, квадратный корень из +1 имеет два значения: +1 и –1. Такое обилие ответов само по себе превосходно, но сразу же возникает другой вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы, т. е.?–1?» Кажется, что этот вопрос не имеет ответа. Ни +1, ни –1 не годятся в качестве ответа — оба числа в квадрате дают +1. Но никаких других «кандидатов» не видно. Между тем полнота требует, чтобы мы умели отвечать и на вопрос о том, чему равен квадратный корень из –1.

Чтобы ответить на этот вопрос, Бомбелли пришлось ввести новое число i, определив его просто как ответ на вопрос: «Чему равен квадратный корень из минус единицы?». На первый взгляд может показаться, что ввод i — малодушная попытка обойти решение проблемы, но предпринятый Бомбелли ход ничем не отличается от того, как были введены отрицательные числа. Столкнувшись с неразрешимой при ином подходе задачей, индийские математики определили число –1 как ответ на вопрос: «Что получится, если от нуля отнять единицу?». Число –1 кажется более приемлемым только потому, что из повседневного опыта нам знакомо аналогичное понятие «долга», в то время как в реальном мире нет ничего, что подкрепляло бы понятие мнимого числа. Немецкий математик XVII века Готтфрид Лейбниц дал следующее изящное описание необычайной природы мнимого числа: «Мнимое число — это бестелесное и преудивительное прибежище Божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием».

Коль скоро мы определили число i как квадратный корень из –1, то должно существовать число 2 i, так как оно равно сумме i плюс i (а также квадратному корню из –4). Аналогично, должно существовать и число i /2, так как оно получается при делении i на 2. Выполняя простые операции, можно получить мнимый эквивалент каждого так называемого действительного числа. Существуют мнимые натуральные числа, мнимые отрицательные числа, мнимые дроби и мнимые иррациональные числа. Проблема, которая теперь возникает, заключается в том, что у всех этих мнимых чисел нет своего естественного места на действительной числовой оси. Математики разрешили возникший кризис, введя еще одну — мнимую — ось, перпендикулярную действительной оси и пересекающую ее в нуле, как показано на рис. 12. Числа перестали занимать одно