Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор (рис

Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку на плоскости или вектор (рис. 1).

Рис. 1

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами , но и полярными координатами , где – длина вектора , а – угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается так: . Для числа аргумент не определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных с понятием аргумента, предполагается, что .

Угол определяется с точностью до , где – целое число. Значение аргумента, заключенное между и , называется его главным значением и обозначается . Таким образом, .

При этом

Из рис.1 видно, что

, .

Следовательно, любое комплексное число можно представить в виде:

. (4)

Запись комплексного числа в виде (4) называется тригонометрической формой комплексного числа.

Если , то по формуле (4) имеем .

Комплексное число обозначается символом , то есть функция для любого вещественного числа определяется формулой Эйлера:

. (5)

Подставляя (5) в (4), получаем показательную форму комплексного числа:

.

Пример 2. Записать в показательной и тригонометрической формах число .

Решение. Здесь , ;

.

Так как точка лежит в третьей четверти и , то .

.

Пример 3. Найти , , , .

Решение. ,

,

,

.

Из (5) заменой на получается равенство:

= = . (6)

Сложением и вычитанием равенств (5) и (6) получаются формулы Эйлера:

,

,

с помощью которых тригонометрические функции выражаются через показательную функцию.

Функция обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число было действительным.

Отметим основные из них:

, (7)

, (8)

, . (9)

Из (9) и (5) вытекает формула Муавра:

, .

С помощью (7), (8) легко получаются формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в показательной форме:

.

Пример 4. Найти и , если , .

Решение. = = = ;

= = .

Пример 5. Найти .

Решение. Пусть . Тогда .

; ;

= = =

=2 ;

= = = ;

.

Корень из комплексного числа имеет различных значений и находится по формуле:

= ,

где .

Пример 6. Найти значение .

Решение. Запишем подкоренное комплексное число в показательной форме: . Тогда = , .

При получаем ; при ;

при .

Логарифм комплексного числа определяется по формуле:

Пример 7. Найти .

Решение. Здесь , ,

; .

Комплексная степень комплексного числа определяется по формуле .

Пример 8. Найти .

Решение. Здесь , . Тогда ;