Типовые задачи курса ТАУ

Использования пакета MATHCAD иллюстрирует решение типовых задач первой части курса ТАУ, посвященной линейным САУ. Ниже рассматривается построение годографов характеристического уравнения и АФЧХ, графиков амплитудно-частотных характеристик (АЧХ), фазо-частотных характеристик (ФЧХ), логарифмических АЧХ и ФЧХ, решение задач устойчивости по критериям Гурвица, Михайлова, Найквиста, а также построение переходного процесса.

Построение годографа АФЧХ.

Построение годографа АФЧХ и АЧХ графиков вещественной и мнимой частотных характеристик включает следующие этапы:

-формирование параметров анализируемой передаточной функции:

-формирование выражения анализируемой передаточной функции:

-формирование линейного частотного диапазона:

-построение графика вещественной частотной характеристики:

-построение графика мнимой частотной характеристики:

-корректировка частотного диапазона для более точного построения годографа АФЧХ:

Или с шагом 0,01

- построение графика годографа АФЧХ:

Текст соответствующего MATHCAD файла приведен в приложении 1.

Построение логарифмических АФЧХ.

Построим логарифмические АЧХ и ФЧХ для примера, используемого в разделе 2.1.

Основной проблемой при построении логарифмических АЧХ и ФЧХ является задание декадно-логарифмического частотного диапазона, например: 1,2,3,…,9,10,20,30,…,90,100,200,…

Эта проблема решается следующим образом.

Задаются параметры частотного ряда:

w0:= 0.01 – начальная частота ряда;

n:= 4 – количество декад;

i:=1…n – ряд декад;

j:=1…9 – ряд частотного поддиапазона (декады);

Выражение для декадно-логарифмического частотного диапазона приводится ниже:

В результате вычислений формируется следующий частотный ряд:

0.01,…,0.09 0.1,…,0.9 1,…,9 10,…,90

или

Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической амплитудно-частотной характеристики:

В данном случае p является формальным параметром выражения.

Строится график логарифмической АЧХ:

Далее формируется известное [1-5] математическое выражение логарифмической фазо-частотной характеристики:

и непосредственно строится график логарифмической ФЧХ:

Следует отметить наличие разрыва графика при достижении абсциссой величины

–π / 2, что обусловлено областью определения арктангенса [–π / 2, π / 2].

Для построения непрерывного графика логарифмической ФЧХ необходимо сместить разрыв на – π, применяя функцию arg, тогда выражение примет вид:

Текст MATHCAD файла, реализующего построение логарифмических АЧХ и ФЧХ приведен в приложении 2.

Построение годографа характеристического уравнения.

В качестве примера рассмотрим характеристическое уравнение, заданное следующим выражением:

Для частотного диапазона w:=0,0.01…7 построим годограф характеристического уравнения:

Текст MATHCAD файла, реализующего построение годографа характеристического уравнения, приведен в приложении 3.

Определение устойчивости.

Критерий устойчивости ГУРВИЦА.

Использование MATHCAD при определении устойчивости САУ по критерию ГУРВИЦА требует знания команд формирования и редактирования матриц.

Рассмотрим процедуру использования MATHCAD при анализе следующего характеристического уравнения:

Для формирования шаблона определителя ГУРВИЦА сформируем матрицу, нажав клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует определения количества столбцов и строк. Задав размер матрицы: 6 6, получим следующий шаблон определителя ГУРВИЦА:

Полученный шаблон матрицы ГУРВИЦА заполняется согласно известному правилу [1-5] следующим образом:

Далее согласно правилу [1-5], необходимо вычислить все главные миноры определителя ГУРВИЦА. Для удобства и простоты общения с MATHCAD, вычислим все миноры, начиная со старшего.

Для вычисления определителя матрицы delta_6 необходимо сформировать символ определителя, нажав клавишу [ | ], и заполнить его именем матрицы delta_6. Получим следующий результат:

Для вычисления следующего минора delta_5 необходимо скопировать матрицу delta_6 ниже, используя клавиши [F2], [F4], и изменить имя минора на delta_5.

Чтобы удалить лишние в этом случае нижнюю строку и правый столбец, необходимо маркер подвести к нижнему правому элементу 1000 и нажать клавиши [Alt]+[M]. Командная строка потребует пояснения для удаления (что будет означать знак -) или дополнения (знак +) текущей матрицы. Необходимо набрать -1 -1 и будет удалена нижняя строка и правый столбец. Выражение примет следующий вид:

Вычислим минор delta_5 приведенным ниже образом:

Аналогично составляются и вычисляются остальные миноры определителя ГУРВИЦА:

После анализа знаков и величин всех диагональных миноров принимается заключение об устойчивости САУ [1-5].

Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Гурвица, приведен в приложении 4.

Критерий устойчивости Михайлова.

Использование пакета MATHCAD при решении задачи устойчивости САУ по критерию Михайлова заключается в построении годографа в комплексной плоскости [1-5]. Рассмотрим эту задачу на следующем примере, описанном в разделе 4.2.1.

Дано характеристическое уравнение САУ:

Пусть частотный диапазон для анализа:

Построим годограф Михайлова в комплексной плоскости:

Проанализируем поведение годографа Михайлова [1-5]:

-начинается на положительной вещественной полуоси;

-вращается против часовой стрелки относительно начала координат;

-последовательно обходит 5 квадрантов.

Следовательно анализируемая САУ устойчива.

Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Михайлова, приведен в приложении 5.

Критерий устойчивости Найквиста.

Задача определения устойчивости замкнутой САУ базируется на анализе поведения годографа АФЧХ в комплексной плоскости.

Исследуем устойчивость замкнутой САУ, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет следующее выражение:

Пусть частотный диапазон анализа:

Строим годограф АФЧХ разомкнутой САУ в комплексной плоскости:

Анализ поведения годографа АФЧХ показывает, что замкнутая САУ устойчивая, т.к. при отсутствии положительных вещественных корней АФЧХ разомкнутой САУ не охватывает точку с координатами (-1,-j0).

Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ по критерию Найквиста, приведен в приложении 6.

Выделение областей устойчивости в плоскости одного

варьируемого параметра.

Задание: Определить допустимые вариации параметра К для системы, заданной следующей структурной схемой.

Зададим выражения передаточных функций:

Определим выражение комплексного коэффициента усиления К интегрирующего звена в цепи отрицательной обратной связи в следующем виде:

Построим фигуративную линию комплексного коэффициента усиления при

Определим точку пересечения фигуративной линии с вещественной положительной осью путем использования функций нахождения корней следующим образом:

Переменная первого приближения решения:

-корень уравнения.

Результат получен с точностью до третьего знака, что задано конфигурацией MATHCAD.

Дальнейшая штриховка фигуративной линии и выделение областей устойчивости выполняется согласно известным правилам [1-5].

Полный текст MATHCAD файла, реализующего анализ устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра 7.

Построение кривой переходного процесса.

Решение задачи построения кривой переходного процесса основывается на известной взаимосвязи вещественной частотной характеристики и переходного процесса.

Построим график кривой переходного процесса для следующей передаточной функции простейшего колебательного звена:

Проанализируем график вещественной частотной характеристики для частотного диапазона w:=0..100

Анализ показывает, что вещественная частотная характеристика постоянно имеет значения очень близкие к 0, начиная с частоты 30 рад/сек. Следовательно ограничимся рассмотрением именно этого частотного диапазона для построения кривой переходного процесса.

Итак, частотный диапазон w:=0..30.

Найдем значение вещественной части на нулевой частоте так как эта величина есть значение переходного процесса в установившемся режиме.

Построим график вещественной части характеристики для последнего частотного диапазона:

Опишем известную [1-5] взаимосвязь вещественной частотной характеристики и кривой переходного процесса:

Зададим временной диапазон анализа:

Последним этапом является непосредственное построение кривой переходного процесса

Полный текст MATHCAD файла, реализующего построение кривой переходного процесса САУ, приведен в приложении 8.

Задачи

Определить устойчивость САУ по известному характеристическому уравнению:

Определить устойчивость САУ в замкнутом состоянии, если известна передаточная функция САУ в разомкнутом состоянии:

Построить логарифмические АЧХ и ФЧХ:

Определить допустимые вариации параметров, если известно:

W(p)

Список литературы

1. Бессекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. – М.: Наука, 1972.
2. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. – М.:Машиностроение, 1973.
3. Васильев Д.В., Чумч В.Г. Системы автоматического управления. – М.: Высшая школа, 1967
4. Бессекерский В.А. Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1973.
5. Теория автоматического управления/ Под. Ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986

Приложение 1. MATHCAD файл построения годографа АФЧХ

Приложение 2. MATHCAD файл построения логарифмических АЧХ и ФЧХ.

Приложение 3. MATHCAD файл построения годографа характеристического уравнения.

Приложение 4. MATHCAD файл анализа устойчивости САУ по критерию Гурвица.

Приложение 5. MATHCAD файл анализа устойчивости САУ по критерию Михайлова.

Приложение 6. MATHCAD файл анализа устойчивости САУ по критерию Найквиста.

Приложение 7. MATHCAD файл анализа устойчивости САУ в плоскости одного варьируемого параметра.

Приложение 8. MATHCAD файл построения кривой переходного процесса.