Ответ. Площадь фигуры равна 125/6

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЫ №2

Задача 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

1. Построим графики функций.

Найдем абсциссы точек пересечения.

Вычислим площадь фигуры. Воспользуемся формулой:

.

Ответ. Площадь фигуры равна 125/6

Задача 2. Найти экстремумы, точки перегиба и наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке [3/2; 4]. Построить графики функции и производных.

Решение. По теореме о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом 1-ая производная равна подынтегральной функции от верхнего предела: .

Найдем критические точки: .

Найдем 2-ую производную функции I(z)

при

По значениям 2-ой производной в точках z=1 и z=2 делаем вывод, что

1) точка z=1 – точка максимума и максимальное значение ;

2) z=2 – точка минимума, минимальное значение функции ;

3) z=3/2 – абсцисса точки перегиба, ордината, т.е. .

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [3|2;4] находим, сравнивая значения функции на концах отрезка и в критических точках внутри отрезка:

, , .

ОТВЕТ. Точка z=1 - точка максимума, максимальное значение - 0.833; z=2 - точка минимума, минимальное значение - 0.667, М(1.5; 0.75) - точка перегиба. На отрезке [3/2; 4] наибольшее значение функции - , а наименьшее - .

Для проверки (подтверждения выводов) строим графики функции и ее производных (1 и 2).

Задача 3. Найти площадь, ограниченную линиями, заданными в полярной системе координат:

r = 2sinf, r = 4sinf.

Будем использовать формулу:

1. Построим графики кривых в полярной системе координат.

2. Вычислим площадь полвины всей фигуры, воспользовавшись симметрией относительно луча f = 90 (см. графики).

.

Date: 2015-07-02; view: 308; Нарушение авторских прав