Основные свойства и графики тригонометрических и обратных тригонометрических функций

2.1. Функция y=sinx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, так как движение точки по тригонометрическому кругу неограниченно как в положительном, так и в отрицательном направлениях и для каждого положения точки можно определить значение ее ординаты.

2. Множество значений функции совпадает с отрезком [-1; 1], так как для любой точки М тригонометрического круга при ее движении ордината изменяется от (-1) до 1.

3. Функция периодическая, с основным периодом Т=2π (основным периодом называется наименьший из множества всех положительных периодов функции), так как , (Положения точек, соответствующих рассматриваемым числам на тригонометрическом круге, будут совпадать).

4. Четность и нечетность. Функция нечетная: , так как точки и симметричны относительно оси , и область определения функции симметрична относительно начала отсчета/начала координат.

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью : где .

С осью : точка

6. Промежутки знакопостоянства и монотонности. Пусть точка движется от до , при этом ордината увеличивается от 0 до 1.

Пусть точка движется от до , при этом ордината положительно уменьшается от 1 до 0.

Пусть точка движется от до , при этом ордината отрицательно уменьшается от 0 до -1.

Пусть точка движется от до , при этом ордината отрицательно увеличивается от -1 до 0.

7. Экстремумы функции.

Максимальное значение функции совпадает с максимальным значением ординаты

Минимальное значение функции совпадает с минимальным значением ординаты

8. Построение графика.

Так как функция периодическая, то достаточно построить график на промежутке

Необходимы контрольные значения: далее за счет симметрии и периодичности – остальную часть графика.

9. Функция непрерывная на и имеет производную в каждой точке :

2.2. Функция y=cosx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, так как движение точки по тригонометрическому кругу неограниченно как в положительном, так и в отрицательном направлениях и для каждого положения точки можно определить значение ее абсциссы.

2. Множество значений функции совпадает с отрезком [-1; 1], так как для любой точки М тригонометрического круга при ее движении абсцисса изменяется от (-1) до 1.

3. Функция периодическая, наименьший положительный период функции равен 2π: .

4. Четность и нечетность. Функция четная: , так как точки и симметричны относительно оси , и область определения функции симметрична относительно начала отсчета/начала координат.

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью : где .

С осью : точка

6. Промежутки знакопостоянства.

при

при

7. Непрерывность и дифференцируемость.

Функция непрерывна и имеет производную в каждой точке :

8. Возрастание и убывание.

Функция возрастает при убывает при

9. Экстремумы функции.

Функция принимает максимальное значение, равное при

Функция принимает минимальное значение при

2.3. Функция y=tgx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, исключая

2. Множество значений функции – множество всех действительных чисел.

3. Функция периодическая, наименьший положительный период функции равен π: .

4. Четность и нечетность. Функция нечетная:

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью : где .

С осью : точка

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

Функция возрастает при

при

при

2.4. Функция y=ctgx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, исключая

2. Множество значений функции – множество всех действительных чисел.

3. Функция периодическая, наименьший положительный период функции равен π: .

4. Четность и нечетность. Функция нечетная:

5. Точки пересечения с осями координат.

С осью : где .

Точек пересечения с осью нет.

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

Функция убывает при

при

при

2.5. Функция y=secx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, исключая

2. Множество значений функции –

3. Функция периодическая, наименьший положительный период функции равен 2π: .

4. Четность и нечетность. Функция четная:

5. Точки пересечения с осями координат.

Точек пересечения с осью нет, так как при любом

С осью : если , то точка

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

Функция возрастает в промежутках и

Функция убывает в промежутках и

при

при

2.6. Функция y=cosecx.

1. Область определения – множество всех действительных чисел, исключая

2. Множество значений функции –

3. Функция периодическая, наименьший положительный период функции равен 2π: .

4. Четность и нечетность. Функция нечетная:

5. Точки пересечения с осями координат.

Точек пересечения с осью нет, так как при любом

С осью : если , то следовательно, точек пересечения с осью нет.

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

Функция убывает в промежутках и

Функция возрастает в промежутках и

при

при

2.7. Функция y=arcsinx.

1. , так как функция является обратной для функции , где . А по свойству взаимно-обратных функций, их области определения и множества значений меняются местами.

2. Множество значений функции –

3. Функция не периодическая.

4. Функция нечетная:

5. Точки пересечения с осями координат.

Если , то следовательно, – точка пересечения с осями координат, так как при , имеем

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция монотонно возрастает на области определения, так как функция на промежутке непрерывна и является монотонно возрастающей.

7. График функции.

По свойству взаимно-обратных функций, график функции симметричен графику функции , где относительно прямой

2.8. Функция y=arccosx.

1. , так как функция является обратной для функции , где . А по свойству взаимно-обратных функций, их области определения и множества значений меняются местами.

2. Множество значений функции –

3. Функция не периодическая.

4. Функция не является четной, не является нечетной.

5. Точки пересечения с осями координат.

Если , то по определению, следовательно, – точка пересечения с осью ; если , то следовательно, – точка пересечения с осью

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция монотонно убывает на области определения, так как функция на промежутке непрерывна и является монотонно убывающей.

7. График функции.

По свойству взаимно-обратных функций, график функции симметричен графику функции , где относительно прямой

2.9. Функция y=arctgx.

1. , так как функция является обратной для функции , где . А по свойству взаимно-обратных функций, их области определения и множества значений меняются местами.

2. Множество значений функции –

3. Функция не периодическая.

4. Функция нечетная:

5. Точки пересечения с осями координат.

Если , то следовательно, – единственная точка пересечения с осями координат, так как при , имеем

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция монотонно возрастает на области определения, так как функция на промежутке непрерывна и является монотонно возрастающей.

7. График функции.

По свойству взаимно-обратных функций, график функции симметричен графику функции , где относительно прямой

2.10. Функция y=arсctgx.

1. , так как функция является обратной для функции , где . А по свойству взаимно-обратных функций, их области определения и множества значений меняются местами.

2. Множество значений функции –

3. Функция не периодическая.

4. Функция не является четной, не является нечетная.

5. Точки пересечения с осями координат.

Если , то следовательно, – точка пересечения с осью . С осью точек пересечения нет, так как

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция монотонно убывает на области определения, так как функция на промежутке непрерывна и является монотонно убывающей.

7. График функции.

По свойству взаимно-обратных функций, график функции симметричен графику функции , где относительно прямой

2.11. Функция y=arcsecx.

1. .

2. Множество значений функции –

3. Функция не является периодической.

4. Функция не является четной, не является нечетной.

5. Точки пересечения с осями координат.

Если , то не существует; если , то следовательно, – точка пересечения с осью

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция является монотонно возрастающей на каждом из промежутков .

7. График функции.

График функции симметричен графику функции , где , относительно прямой

2.12. Функция y=arccosecx.

1. .

2. Множество значений функции –

3. Функция не является периодической.

4. Функция не является четной, не является нечетной.

5. Точек пересечения с осями координат нет.

6. Промежутки монотонности и знакопостоянства.

По свойству обратной функции, функция является монотонно убывающей на каждом из промежутков .

7. График функции.

График функции симметричен графику функции , где , относительно прямой

2.13. Основные соотношения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Тригонометрические операции над аркфункциями
№	Соотношения	Условия

Пример 1. Вычислите .

Решение. Пусть . Тогда и . Более того, так как то . Для вычисления используем формулу: Таким образом, сначала находим Так как и то находим:

Так как в интервале , то

Тогда и так как а в этом промежутке синус принимает положительные значения, то

Таким образом,

Тестовые задания (по 10 баллов)

123. Докажите неравенства: .

124. Найдите область определения функции

125. Найдите область определения функции

126. Найдите область определения функции

127. Найдите область значений функции

128. Найдите область значений функции

129. Вычислить

130. Вычислить

131. Вычислить .

132. Вычислить .

133. Вычислить

134. Вычислить .

135. Вычислить

136. Найдите если

137. Вычислить

138. Значение выражения равно

139. Значение выражения равно

140. Упростить выражение

141. Упростить выражение

142. Построить график функции

143. Построить график функции

144. Доказать равенство:

145. Вычислите: .

146. Вычислите: .

147. Вычислите: .

148. Вычислите: .

Задачи I уровня (по 20 баллов)

149. Постройте график функций: .

150. Постройте график функций: .

151. Постройте график функций: .

152. Постройте график функций: .

153. Постройте график функций: .

154. Вычислите: .

155. Вычислите: .

156. Вычислите: .

157. Проверьте равенство: .

158. Вычислите: .

159. Вычислите: .

160. Вычислите: .

161. Вычислите: .

162. .

163. Доказать равенство:

164. Доказать равенство:

165. Доказать равенство:

166. Доказать равенство:

167. Доказать равенство:

168. Доказать равенство:

169. Доказать равенство:

170. Доказать равенство:

171. Найдите если известно, что и что Установите без помощи таблиц и калькулятора, какое из чисел больше: или

172. Вычислите Докажите, что это число – целое.

173. Вычислите если

174. Докажите тождество: .

175. Докажите тождество: .

176. Докажите тождество: .

177. Докажите тождество: .

178. Докажите тождество: .

179. Докажите тождество:

.

180. Докажите тождество: .

181. Докажите тождество: .

182. Докажите тождество: .

183. Докажите тождество:

.

184. Найдите область определения функции

185. Найдите область определения функции

186. Найдите область определения функции

187. Найдите область определения функции

188. Найдите область определения функции

189. Найдите область определения функции

190. Найдите область определения функции

191. Найдите множество значений функции

192. Найдите множество значений функции

193. Найдите множество значений функции

194. Найдите множество значений функции

195. Найдите множество значений функции

196. Найдите множество значений функции

197. Найдите множество значений функции

198. Найдите множество значений функции

199. Найдите множество значений функции

200. Найдите множество значений функции

201. Найдите множество значений функции

202. Найдите множество значений функции

203. Найдите область значений функции

204. Найдите область значений функции на

205. Найдите область значений функции на

206. Найдите область значений функции .

207. Найдите область значений функции .

208. Исследуйте функцию на периодичность. Укажите наименьший период, если он есть.

Решение. Так как функция периодична с периодом , функция периодична с периодом . В самом деле, для любого имеем Докажем, что – наименьший период данной функции. Предположим противное: пусть – период данной функции и . Тогда для всех имеем В том числе это равенство должно выполняться и для отсюда но таких нет – противоречие.

Ответ. Данная функция периодическая, наименьший период .

209. Исследуйте функцию на периодичность. Укажите наименьший период, если он есть.

210. Исследуйте функцию на периодичность. Укажите наименьший период, если он есть.

Задачи II уровня (по 30 баллов)

211. Найдите область значений функции .

212. Найдите область значений функции .

213. Найдите область значений функции .

214. Найдите область значений функции .

215. Построить график функции

216. Построить график функции

217. Построить график функции

Решение. Данная функция определена при По определению если обозначить то Таким образом, Графиком функции будет дуга параболы на отрезке .

218. Построить график функции

219. Построить график функции

220. Построить график функции

221. Построить график функции

222. Построить график функции

Задачи III уровня (по 40 баллов)

223. Найдите область значений функции .

224. Построить график функции

225. Построить график функции

226. Построить график функции

227. Построить график функции

228. Построить график функции

229. Построить график функции

230. Построить график функции

Решение. Данная функция является периодической, ее значения не меняются при замене на Построим сначала ее график для

Если то Это следует из определения арккосинуса: если то и А поскольку на отрезке каждое значение косинуса достигается в одной точке, то

Пусть Поскольку а при будем иметь то из определения арккосинуса получим при Пользуясь периодичностью, получаем график.

231. Построить график функции

232. Построить график функции