Структуры алгоритмов

Алгоритмы можно представлять как некоторые структуры, состоящие из отдельных базовых (т.е. основных) элементов. Естественно, что при таком подходе к алгоритмам изучение основных принципов их конструирования должно начинаться с изучения этих базовых элементов

Логическая структура любого алгоритма может быть представлена комбинацией трех базовых структур: следование, ветвление, цикл.

Характерной особенностью базовых структур является наличие в них одного входа и одного выхода.

1. Базовая структура следование. Образуется из последовательности действий, следующих одно за другим:

2. Базовая структура ветвление. Обеспечивает в зависимости от результата проверки условия (да или нет) выбор одного из альтернативных путей работы алгоритма. Каждый из путей ведет к общему выходу, так что работа алгоритма будет продолжаться независимо от того, какой путь будет выбран.

Структура ветвление существует в четырех основных вариантах:

если-то;

если-то-иначе;

выбор;

выбор-иначе.

Пример. Составить блок-схему алгоритма вычисления функции

Базовая структура цикл. Обеспечивает многократное выполнение некоторой совокупности действий, которая называется телом цикла.

Структура цикл существует в трех основных вариантах:

Цикл типа для.

Предписывает выполнять тело цикла для всех значений некоторой переменной (параметра цикла) в заданном диапазоне.

Цикл типа пока.

Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова пока.

Цикл типа делать - пока.

Предписывает выполнять тело цикла до тех пор, пока выполняется условие, записанное после слова пока. Условие проверяется после выполнения тела цикла.

Заметим, что циклы для и пока называют также циклами с предпроверкой условия а циклы делать - пока - циклами с постпроверкой условия. Иными словами, тела циклов для и пока могут не выполниться ни разу, если условие окончания цикла изначально не верно. Тело цикла делать - пока выполнится как минимум один раз, даже если условие окончания цикла изначально не верно.

Пример. Составить блок-схему алгоритма вычисления функции

y_k = sin (kx) + cos (k/x), k = 1, 2,..., 50

Пример. Составить блок-схему вычисления функции

y = a³ / (a² + x²)

при x, изменяющимся от x = 0 до x = 3 с шагом Dx = 0,1

Итерационные циклы. Особенностью итерационного цикла является то, что число повторений операторов тела цикла заранее неизвестно. Для его организации используется цикл типа пока. Выход из итерационного цикла осуществляется в случае выполнения заданного условия.

На каждом шаге вычислений происходит последовательное приближение и проверка условия достижения искомого результата.

Пример. Составить алгоритм вычисления суммы ряда

с заданной точностью (для данного знакочередующегося степенного ряда требуемая точность будет достигнута, когда очередное слагаемое станет по абсолютной величине меньше).

Вычисление сумм - типичная циклическая задача. Особенностью же нашей конкретной задачи является то, что число слагаемых (а, следовательно, и число повторений тела цикла) заранее неизвестно. Поэтому выполнение цикла должно завершиться в момент достижения требуемой точности.

При составлении алгоритма нужно учесть, что знаки слагаемых чередуются и степень числа х в числителях слагаемых возрастает.

Решая эту задачу "в лоб" путем вычисления на каждом i-ом шаге частичной суммы

S:=S+(-1)**(i-1)*x**i/i,

мы получим очень неэффективный алгоритм, требующий выполнения большого числа операций. Гораздо лучше организовать вычисления следующим образом: если обозначить числитель какого-либо слагаемого буквой р, то у следующего слагаемого числитель будет равен -р*х (знак минус обеспечивает чередование знаков слагаемых), а само слагаемое m

будет равно p/i, где i - номер слагаемого.

Алгоритм, в состав которого входит итерационный цикл, называется итерационным алгоритмом. Итерационные алгоритмы используются при реализации итерационных численных методов. В итерационных алгоритмах необходимо обеспечить обязательное достижение условия выхода из цикла (сходимость итерационного процесса). В противном случае произойдет зацикливание алгоритма, т.е. не будет выполняться основное свойство алгоритма - результативность.