Уравнения метода конечных элементов

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассмотрены основы метода конечных элементов (МКЭ), который получил широкое применение в решении инженерно-технических задач и научных проблем с 70-х годов XX века в связи с развитием вычислительной техники.

Основная идея МКЭ

Основная идея МКЭ состоит в том, что любую непрерывную величину/функцию (перемещение, температура, давление) можно представить (аппроксимировать) дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (элементов).

Этапы построения дискретной модели непрерывной функции:

1. В рассматриваемой области фиксируется конечное число узловых точек (узлов).

2. Значение непрерывной функции в каждой узловой точке считается неизвестной переменной, которая должна быть определена.

3. Область определения непрерывной функции разбивается на конечное число подобластей (элементов), которые имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют геометрическую форму области.

4. Непрерывная функция аппроксимируется на каждом элементе полиномом (функция формы элемента), который определяется с помощью узловых значений этой функции. Полиномы подбираются таким образом, чтобы сохранялась непрерывность величины вдоль границ элемента.

Например, аппроксимация функции T(x) состоит из 4-х кусочно-линейных функций формы, каждая из которых определена на отдельном элементе (рис.6.1) и выражается через значения функции в узловых точках T₁, T₂, T₃, T₄, T₅:

f₁ = f₁(T₁, T₂)

f₂ = f₂(T₂, T₃)

f₃ = f₃(T₃, T₄)

f₄ = f₄(T₄, T₅)

Кусочно-непрерывная линейная аппроксимация функции в области определения

Для примера на рис.6.2 представлена линейная аппроксимация функции T(x) на отрезке длиной L.

Линейная аппроксимация функции на отрезке

Граничные условия:

значение функции T = T_i при x = x_i

значение функции T = T_j при x = x_j

Примем линейную функцию формы элемента на отрезке:

T = α₁ + α₂∙x

С учетом граничных условий получаем систему из 2-х уравнений с двумя неизвестными α₁ и α₂:

T_i = α₁ + α₂∙x_i

T_j = α₁ + α₂∙x_j

откуда получаем:

α₁ = (T_i∙x_j - T_j∙x_i)/L

α₂ = (T_j – T_i)/L

Тогда окончательно функция формы элемента выражается через узловые координаты x_i и x_j и длину отрезка L:

На рис.6.3 изображена функция 2-х переменных f(x,y) и ее аппроксимация треугольными элементами.

Уравнения метода конечных элементов

Разрешающие уравнения МКЭ связывают неизвестные узловые значения искомой функции, граничные условия и физические параметры задачи (конструкции).