Экспериментальная часть

Лабораторная работа 1-7

Законы сохранения.

Упругие столкновения

Цель работы: изучение теории столкновений.

Теория

В природе часто наблюдаются явления взаимодействия материальных тел. Например, соприкосновение бильярдных шаров, взаимодействие макроскопических тел – комета и Солнце, микроскопических – протон и ядро и т. д. О таком взаимодействии говорят как об их столкновении, хотя непосредственно соприкосновения может и не произойти. Понятие столкновения можно определить следующим образом.

Столкновением называется взаимодействие двух или большего числа материальных тел или частиц, которое происходит в относительно малой области пространства в течение относительно малого промежутка времени. Вне этой области пространства и вне этого промежутка времени можно говорить о начальных состояниях тел или частиц и об их конечных состояниях после взаимодействия как состояниях, в которых они не взаимодействуют.

В механике тела и частицы, участвующие в столкновении, характеризуются импульсами, моментами импульсов и энергиями, а сам процесс сводится к изменению этих величин. В процессе взаимодействия частицы обмениваются энергией и импульсом. В результате взаимодействия в общем случае могут образоваться новые частицы и исчезнуть некоторые из частиц, существовавших до столкновения. В этом случае происходит замена носителей энергии и импульса.

Процессы столкновения являются чрезвычайно сложными. Например, в простейшем случае столкновения двух бильярдных шаров происходит их деформация. В результате часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем энергия упругой деформации опять превращается в кинетическую, но не полностью – часть энергии превращается во внутреннюю, шары при этом нагреваются. Вследствие того, что поверхности шаров не являются абсолютно гладкими, между ними возникают силы трения. Эти силы, с одной стороны, также приводят к превращению части энергии во внутреннюю энергию, а с другой – вызывают определенное изменение во вращении шаров. Таким образом, даже в простейшем случае картина столкновения оказывается чрезвычайно сложной.

Однако главный интерес при рассмотрении столкновения заключается в знании не самого процесса, а результата. Ситуация до столкновения называется начальным состоянием, а после – конечным. Между величинами, характеризующими начальное и конечное состояния, соблюдаются вполне определенные соотношения, независимые от детального характера взаимодействия. Наличие этих соотношений обусловлено тем, что совокупность частиц, участвующих в столкновении, составляет изолированную систему, для которой справедливы законы сохранения энергии, импульса и момента импульса. Следовательно, соотношения между величинами, характеризующими начальное и конечное состояние частиц, выражаются законами сохранения энергии, импульса и момента импульса при столкновении.

Законы сохранения сами по себе не дают возможности определить, что произойдет при столкновении. Но если известно, что произойдет, то эти законы значительно облегчают анализ того, как это произойдет.

Обозначим импульсы различных частиц до столкновения , а после – через . Закон сохранения импульса замкнутой системы запишем в следующем виде:

(1)

Применение закона сохранения энергии при столкновении более сложно, чем применение закона сохранения импульса, так как надо учесть внутреннюю энергию материальных тел или частиц, участвующих в столкновении. Потенциальную энергию взаимодействия между сталкивающимися частицами учитывать не надо, потому что и в начальном, и в конечном состоянии они считаются не взаимодействующими. Обозначим кинетическую энергию поступательного движения тела как , внутреннюю энергию тела как , тогда закон сохранения энергии при столкновении в нерелятивистском случае можно записать в виде:

(2)

При применении закона сохранения момента импульса надо учитывать, что тела и частицы могут обладать внутренним моментом импульса. У тел он обусловлен вращением, у микрочастиц внутренний момент импульса называется спином. Если через обозначить векторы момента импульса частиц участвующих в столкновении, а внутренними моментами в механике макротел пренебречь, то закон сохранения момента импульса при столкновении можно представить следующим образом:

(3)

Процессы столкновения делятся на упругие и неупругие в зависимости от изменений внутренней энергии частиц при их взаимодействии. Столкновение называется упругим, если внутренняя энергия частиц при этом не изменяется. Если говорят об абсолютно упругом столкновении, то в таком случае предполагается, что внутренняя энергия сталкивающихся частиц абсолютно точно неизменна. Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

Простым примером абсолютно упругого столкновения может быть центральный удар двух бильярдных шаров, один из которых до столкновения находился в состоянии покоя (рис. 1).

Центральным ударом шаров называют соударение, при котором скорости шаров до и после удара направлены по линии центров.

В общем случае массы m₁ и m₂ соударяющихся шаров могут быть неодинаковыми. По закону сохранения механической энергии

(4)

Здесь υ₁ – скорость первого шара до столкновения, скорость второго шара υ₂ = 0, u₁ и u₂ – скорости шаров после столкновения. Закон сохранения импульса для проекций скоростей на координатную ось, направленную по скорости движения первого шара до удара, записывается в виде:

Мы получили систему из двух уравнений. Эту систему можно решить и найти неизвестные скорости u₁ и u₂ шаров после столкновения:

; (5)

В частном случае, когда оба шара имеют одинаковые массы (m₁ = m₂), первый шар после соударения останавливается (u₁ = 0), а второй движется со скоростью u₂ = υ₁, т. е. шары обмениваются скоростями (и, следовательно, импульсами).

Если бы до соударения второй шар также имел ненулевую скорость (υ₂ ≠ 0), то эту задачу можно было бы легко свести к предыдущей с помощью перехода в новую систему отсчета, которая движется равномерно и прямолинейно со скоростью υ₂ относительно «неподвижной» системы. В этой системе второй шар до соударения покоится, а первый по закону сложения скоростей имеет скорость υ₁' = υ₁ – υ₂. Определив по приведенным выше формулам скорости u₁ и u₂ шаров после соударения в новой системе, нужно сделать обратный переход к «неподвижной» системе.

Центральный (лобовой) удар очень редко реализуется на практике, особенно если речь идет о столкновениях атомов или молекул. При нецентральном упругом соударении скорости частиц (шаров) до и после столкновения не направлены по одной прямой.

Частным случаем нецентрального упругого удара может служить соударения двух бильярдных шаров одинаковой массы, один из которых до соударения был неподвижен, а скорость второго была направлена не по линии центров шаров (рис. 3).

После нецентрального соударения шары разлетаются под некоторым углом друг к другу. Для определения скоростей и после удара нужно знать положение линии центров в момент удара или прицельное расстояние d (рис. 2), т. е. расстояние между двумя линиями, проведенными через центры шаров параллельно вектору скорости налетающего шара. Если массы шаров одинаковы, то векторы скоростей и шаров после упругого соударения всегда направлены перпендикулярно друг к другу. Это легко показать, применяя законы сохранения импульса и энергии. При m₁ = m₂ = m эти законы принимают вид:

; (6)

Первое из этих равенств означает, что векторы скоростей образуют треугольник (диаграмма импульсов), а второе – что для этого треугольника справедлива теорема Пифагора, т. е. он прямоугольный. Угол между катетами и равен 90°.

Таким образом, пользуясь законами сохранения механической энергии и импульса, можно определить скорости шаров после столкновения, если известны их скорости до столкновения.

Если внутренняя энергия шаров при столкновении изменяется, то столкновение называется неупругим. Так же говорят об абсолютно неупругом столкновении, если в результате столкновения оба тела «слипаются» и дальше движутся как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел.

Примером абсолютно неупругого удара может служить попадание пули (или снаряда) в баллистический маятник. Маятник представляет собой ящик с песком массой M, подвешенный на веревках (рис. 3). Пуля массой m, летящая горизонтально со скоростью попадает в ящик и застревает в нем. По отклонению маятника можно определить скорость пули.

Обозначим скорость ящика с застрявшей в нем пулей через Тогда по закону сохранения импульса

(7)

При застревании пули в песке произошла потеря механической энергии:

(8)

Отношение – доля кинетической энергии пули, перешедшая во внутреннюю энергию системы:

(9)

Эта формула применима не только к баллистическому маятнику, но и к любому неупругому соударению двух тел с разными массами.

При почти вся кинетическая энергия пули переходит во внутреннюю энергию. При – во внутреннюю энергию переходит половина первоначальной кинетической энергии. Наконец, при неупругом соударении движущегося тела большой массы с неподвижным телом малой массы () отношение

Дальнейшее движение маятника можно рассчитать с помощью закона сохранения механической энергии:

; (10)

где h – максимальная высота подъема маятника. Из этих соотношений следует:

(11)

Измеряя на опыте высоту h подъема маятника, можно определить скорость пули υ.

Экспериментальная часть

Задача 1. Шар 1 массой m=10кг, движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся шар 2 массой m/2 и после упругого удара продолжает двигаться под углом к направлению своего первоначального движения.

Задание: