Имитация cлучайныx cобытий

Пусть события S₁, S₂,..., S_m образуют полную группу несовместимых событий, каждое из которых может произойти с вероятностью Р_i, причем . Это означает, что в результате одного опыта может произойти лишь одно из событий S₁, S₂,..., S_m. Рассмотрим метод и алгоритм имитации данных случайных событий.

Разбиваем отрезок [0,1] на m частей длиной Р₁, Р₂,..., Р_m, при этом точки деления отрезка имеют следующие координаты:

,

как это показано на рис. 3.19.

Рис. 3.19

Имитация осуществляется следующим образом. Пусть теперь Х — очередное число от датчика псевдослучайных, квазиравномерно распределенных чисел, который далее для упрощения будем называть генератором случайных чисел.

Если число генератора А_k-1 £ Х < А_k, то считаем, что произошло событие S_k. Действительно

Р(S_k)=Р(A_k-1<Х<A_k)=A_k‑A_k-1=Р_k.

Алгоритм имитации несовместимых событий S₁, S₂,..., S_m, образующих полную группу, рассмотрим для случая m =5. Схема алгоритма приведена на рис. 3.20.

Рис. 3.20

На каждом такте моделирования случайное число Х сравнивается со значениями А₁, А₂, А₃, А₄, А₅ в блоках 4, 6, 8, 10 соответственно.

Если случайное число Х £ А₁, то произошло событие S₁ и содержимое счетчика K[1] увеличивается на единицу. Если случайное число Х £ А₂, то произошло событие S₂ и содержимое счетчика K[2] увеличивается на единицу и т.д. События S₁, S₂,..., S_m могут образовывать неполную группу несовместимых событий. Если событие S_i происходит с вероятностью Р_i, то для этих событий

.

Для имитации событий S₁, S₂,..., S_m, образовывающих неполную группу, необходимо ввести дополнительное событие S₀, с которым связано непоявление ни одного из вышеперечисленных событий. Вероятность события S₀ определится по формуле . После введения события S₀ имитация неполной группы событий осуществляется по аналогии с рассмотренной выше имитацией событий, образующих полную группу несовместимых событий.

Рассмотрим ситуацию, когда осуществляется имитация зависимых событий. Событие В будет зависеть от события А, если после наступления события А событие В может произойти с условной вероятностью Р(В/А).

Метод и алгоритм имитации рассмотрим на примере.

Пусть события S₁, S₂, S₃, S₄ образуют полную группу независимых событий. Если происходит событие S₁, то с вероятностью Р (U₁ / S₁)= Р₁₁ может произойти событие U₁. Если происходит событие S₂, то с вероятностью Р (H₁ / S₂)= Р₁₂ может произойти событие H₁ и с вероятностью Р (H₂ / S₂)= Р₂₂ может произойти событие H₂, причем события H₁ и H₂ образуют полную группу событий. Если происходит событие S₄, то с вероятностью Р (D₁ / S₄)= Р₁₄ может произойти событие D₁.

На рис. 3.21 приведен граф событий.

Рис. 3.21

На рис. 3.22 приведена схема алгоритма имитации рассмотренной системы случайных событий.

После генерации случайного числа Х (см. блок 3) в блоке 4 проверяется условие появления события А₁.

Рис. 3.22

Если событие А₁ произошло, то содержимое счетчика KS[1] увеличивается на единицу (см. блок 5) и генерируется случайное число Х (см. блок 6). В блоке 7 проверяется условие появления события U₁. Если событие U₁ произошло, то содержимое счетчика KU[1] увеличивается на единицу (см. блок 8). Если событие А₁ не произошло, то в алгоритме выполняется переход от блока 4 к блоку 9 и проверяется условие появления события А₂. Если событие А₂ произошло, то содержимое счетчика KS[2] увеличивается на единицу (см. блок 10) и генерируется случайное число Х (см. блок 11).

В блоке 12 проверяется условие появления события H₁. Если событие H₁ произошло, то содержимое счетчика KH[1] увеличивается на единицу (см. блок 13). Если событие H₁ не произошло, то считается, что произошло событие H₂, так как события H₁ и H₂ составляют полную группу. Содержимое счетчика KH[2] увеличивается на единицу (см. блок 14).

Если событие А₂ не произошло, то в алгоритме выполняется переход от блока 9 к блоку 15 и проверяется условие появления события А₃. Если событие А₃ произошло, то содержимое счетчика KS[3] увеличивается на единицу (см. блок 16).

Если событие А₃ не произошло, то считается, что произошло событие А4. Содержимое счетчика KS[4] увеличивается на единицу (см. блок 17) и генерируется случайное число Х (см. блок 18). В блоке 19 проверяется условие появления события D₁. Если событие D₁ произошло, то содержимое счетчика KD[1] увеличивается на единицу (см. блок 20). В блоке 21 осуществляется контроль выполнения цикла по переменной N.