Моделирование линейных процессов. Пакет lindo

Литература:

1. Бирман И.Я. Оптимальная экономика. М.: Экономика, 1968

2. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972

Наибольшее распространение в практике управления экономическими объектами имеют линейные модели. Хотя среди задач поиска оптимального решения линейные задачи занимают малое место. (Пример с областью всех задач программирования и знаниями слушателей курса.) Основанием этому служат два основных момента.

Во-первых, большинство процессов в экономике имеют линейную природу и, следовательно, хорошо описываются линейными функциями. Исключением являются лишь накопление процентов на банковском счете и основанные на этом экспоненциальные процессы. Но это лишь небольшая часть из экономических проблем управления.

Во-вторых, математическая постановка задачи линейной оптимизации хорошо изучена и не представляет научных проблем. Для нашего курса практического применения в моделировании необходимо четко помнить фундаментальную теорему линейного программирования. Задача линейного программирования тогда и только тогда имеет решение, когда многогранник решений ограничен. Необходимо ясно представлять, когда решение единственно, не ограничено, не существует и имеется множество решений. Наиболее четкое представление всех возможных ситуаций дает графическая интерпретация в двухмерном пространстве. Все возможные семь исходов необходимо представлять каждому, кто составляет и решает задачи линейной оптимизации.

Для нахождения оптимума линейной модели необходимо:

1. Выразить критерий оптимальности в виде линейной целевой функции.

2. Ограничения, налагаемые на переменные, необходимо выразить в виде линейных неравенств.

Для решения задач оптимизации служат много программных средств. Основная классификация их опирается на критерий универсальности. К числу универсальных средств относятся такие программы широкого спектра, как EXEL. Там задача оптимизации не является основной, а включается только по требованию при установке пакета на компьютер. Требование табличного представления входной информации структурно усложняет формирование исходных данных задачи. Также не являются достаточно полными и выходные данные для анализа полученного решения.

Лекция 6

АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Литература:

1. Бирман И.Я. Оптимальная экономика. М.: Экономика, 1968

2. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. М.: Наука, 1972

При построении моделей исследователю необходимо последовательно пройти следующие этапы моделирования:

1. Постановка задачи и обоснование критерия оптимальности. На данном этапе необходимо сформулировать задачу, провести качественный и количественный анализ моделируемого объекта, оценить возможность сбора достоверной информации. Для выбора критерия оптимальности необходимо провести сравнение возможных критериев и выбрать соответствующий задачам эксперимента критерий.

2. Разработка структурной математической модели. На данном этапе производится выбор метода решения поставленной задачи, определяются учитываемые ограничения и участвующие в них переменные, производится унификация символики и подбираются аналоги в постановке задачи.

3. Сбор и обработка информации. Наиболее трудоемкий этап для большинства задач. Необходимо классифицировать и выверить собранную информацию, провести занесение ее в созданные базы данных, сформировать дубликаты баз, провести контрольное суммирование и т.д.

4. Построение числовой модели. Запись матрицы задачи в соответствии с принятыми обозначениями и с учетом единиц измерения для конкретной программы расчета на ЭВМ.

5. Решение задачи на ЭВМ. Включает в себя отладку, исправление синтаксических ошибок, контрольные прогоны задачи на известных тестовых примерах, получение исчерпывающей выходной информации на твердых носителях или в электронной форме на дискетах для чтения на своем компьютере в форме, удобной для представления отчета.

6. Анализ решения. Оценка адекватности полученного решения. Ретроспективные расчеты по модели, сопоставление с имеющимися результатами других исследователей, предыдущими данными, расчетами по другим моделям, экспертными оценками и т.д. Подготовка и редактирование данных для отчета.

7. Корректировка задачи при установлении неадекватности, Установление областей применимости модели, границ параметров по каждому эндогенному параметру и областей применимости модели по экзогенным параметрам.

8. Написание отчета по исследованию модели, подведение итогов, формулирование выводов и предложений, построение прогнозов развития исследуемого объекта, выявление связей между основным параметрами и результирующим показателем.

Впервые анализ оптимального плана поставил как экономическую задачу Л.В. Канторович. Анализ опирается на двойственные оценки оптимального плана, матрицу коэффициентов замещения и границы устойчивости каждой строки и переменной.

Различают два уровня анализа для специалистов (сокращенная форма) и для практических работников (полная форма). Сокращенная форма анализа допускает понятные только специалистам сокращения и специальную терминологию. Полная форма должна содержать информацию в понятной всем практическим работникам форме.

Цели анализа:

1. Дать общую оценку полученному решению выявить вошедшие и не вошедшие в оптимальный план переменные, выявить экстремальное значение целевой функции.

2. Сопоставить полученное решение с рассчитанным традиционными методами решением и определить эффект оптимизации плана.

3. Выявить возможности и резервы развития моделируемого объекта в расчетном периоде для подготовки управленческих решений.

4. Установить пределы возможностей корректировки оптимального решения и получения новых вариантных решений при изменении первоначальных параметров задачи.

Покажем анализ оптимального решения на простом примере. Пусть хозяйство располагает 850 гектарами земли, 15 тысяч тонн органических удобрений и 50 тысяч человеко-дней. Имеются семена картофеля, капусты и многолетних трав. Необходимо найти оптимальное распределение имеющейся земли с учетом того, что каждый гектар земли под капустой принесет 1000 рублей дохода, картофеля 800, а многолетних трав 200. Затраты труда на возделывание одного гектара капусты, картофеля и многолетних трав равны, соответственно, 50, 30 и 15 человеко-дней. Расходы органических удобрений на те же культуры равны 20, 15 и 10 тоннам на гектар.

В процессе решения задачи получим следующую итоговую таблицу:

В данной таблице экстремальное значение целевой функции равно 770000, двойственные оценки 40, 200 и 400. Решением задачи является 400 га картофеля и 450 га капусты без использования многолетних трав. В таком случае остаются неиспользованными 15500 человеко-дней. Верхняя правая часть таблицы является матрицей замещения, внизу расположены двойственные оценки.

Двойственные оценки имеют размерность целевой функции и численно равны изменению целевой функции при изменении значения ресурса на единицу. В частности в данном примере двойственная оценка 40 равно максимально возможному приращению дохода при увеличении имеющегося количества удобрений на 1 тонну. На 200 рублей может увеличиться доход при увеличении площади земли на 1 гектар.

Крайний справа столбец отражает не вошедшую в базис переменную. В таких случаях для анализа все значения в таком столбце умножаются на 1. Тогда при введении в севооборот многолетних трав каждый гектар будет снижать доход на 400 рублей.

Чрезвычайно интересно анализировать матрицу замещения. Иногда ее еще называют матрицей структурных сдвигов. Элементы матрицы имеют размерность соответствующей строки и указывают, каким образом должны измениться величины в строке для достижения оптимального плана при изменении величины ресурса в столбце. В нашем примере при получении дополнительной тонны удобрений максимально возможный эффект в 40 рублей может быть достигнут только посредством уменьшения площади под картофелем на 0.2 га и соответствующего увеличения ее под капустой. При этом недоиспользованный труд будет уменьшен на 4 человеко-дня.

Устойчивость оптимальных планов. Существую пределы корректировок оптимальных планов. Это связано с не отрицательностью большинства переменных в оптимальном плане. Например, при введении 1 га многолетних трав площадь под картофелем уменьшится на 2 га. При введении в севооборот 100 га трав площадь картофеля уменьшится на 200 га. Можно бы предположить, что при введении 300 га трав, площадь соответственно уменьшилась на 600 га, но это невозможно, ибо общая площадь под картофелем всего равна 400 га. Легко подсчитать предел корректировки введения многолетних трав. Эта величина определяется делением общей площади под культурой (400 га) на соответствующий коэффициент (в нашем случае 2). Таким образом, предельная корректировка равна 200 га или, другими словами, предел устойчивости по картофелю равен 200.

Если таких переменных несколько, то берется наименьшее из них.

В пределах устойчивости переменных и строк возможно корректировать оптимальный план без нового расчета оптимального плана