Введение. 2 Построение математических моделей теплообменной аппаратуры ..3

Содержание

1 Введение. …………………………….…………………....................................2

2 Построение математических моделей теплообменной аппаратуры…..............3

3 Пример 1………………………………………………………………………….6

4 Программа в MathCad…………………………………………………………..7

Список использованной литературы....................................................................11

Введение

Процесс передачи тепла через стенку весьма распространен в химической технологии и значительно влияет на протекание химических реакции во всех типах реакторов. Процесс передачи тепла в теплообменной аппаратуре является основным и служит для сообщения технологическому потоку нужной температуры.

Выбирая различные способы оформления реакторов, можно влиять на интенсивность теплообмена между основным (реакционным) потоком и потоком хладоагента или окружающей средой. При полном отсутствии теплообмена через стенку получают адиабатический реактор. Реакторы, имеющие теплообмен с внешней средой, относятся к политропическим.

При рассмотрении процесса передачи тепла от одного теплоносителя к другому через стенку можно выделить несколько элементарных этапов: переход тепла от горячего теплоносителя к более холодной стенке, поглощение тепла материалом стенки и ее нагрев, распределение тепла по объему стенки, переход тепла от стенки к холодному теплоносителю.

Если процесс теплообмена протекает стационарно, то температура в каждой точке материала (теплоносителей и стенки) не изменяется во времени. Применение модели с сосредоточенными параметрами (т.е. когда пространственные координаты не входят в математическое описание) приводит к алгебраическим соотношениям между температурами в системе. Если, наоборот, температуры меняются во времени, математическое описание получается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (аргументом является время).

Зависимость температур от геометрических координат обуславливает математическое описание статики в виде обыкновенных дифференциальных уравнений (если пространственная координата одна) или дифференциальных уравнений в частных производных. Независимыми переменными при этом являются пространственные координаты. Динамическая модель при наличии пространственно-распределенных эффектов описывается уравнениями в частных производных, причем одной из независимых переменных является время.

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ТЕПЛООБМЕННОЙ АППАРАТУРЫ

Интенсивность перехода тепла от одного теплоносителя (например, горячего потока жидкости или газа) к другому (стенке) зависит от разности температур между ними, а также от теплового сопротивления. В расчетные уравнения, однако, обычно включают не сопротивление, а обратную величину ­коэффициент теплоотдачи а - тепловой поток (ккал/ч или Вт) через поверхность площадью 1 м при разности температур (температурном напоре) 1 градус.

Полный тепловой поток q определяется произведением коэффициента теплоотдачи а на поверхность F и на температурный напор AT:

q = aFΔT (1)

Уравнение (1) применимо как к нагреванию стенки от горячей жидкости, так и, наоборот, к нагреванию холодной жидкости горячей стенкой; при этом AT будет иметь разные знаки.

Если пренебречь распространением тепла в стенке, то теплопередачу от горячего потока жидкости к холодному, находящемуся по другую сторону стенки, можно представить как процесс преодоления тепловым потоком двух последовательных сопротивлений теплоотдачи - от горячего потока к стенке и от нагревшейся стенки к холодному потоку.

Используя вместо сопротивлений коэффициенты теплоотдачи (a₁ и a₂), получаем выражение, определяющее коэффициент теплопередачи (k):

1/k = 1/a₁ +1/a ₂ (2)

В практических расчетах часто используют коэффициент теплопередачи как характеристику интенсивности теплообмена между потоками:

q = kFΔT (3)

В тех случаях, когда коэффициенты теплоотдачи учитываются порознь,

принимают усредненную температуру стенки, разделяющей потоки. Иными словами, считают, что теплопроводность материала стенки настолько велика, что перепад температуры отсутствует.

Коэффициенты теплоотдачи зависят от многих параметров, но наиболее сильно - от скорости потока, характера набегания жидкости на стенку, плотности и теплопроводности жидкости. При выполнении точных расчетов зависимость коэффициента теплоотдачи от параметров потока следует учитывать. Однако для большинства инженерных расчетов теплообменной аппаратуры и реакторов достаточны упрощенные представления.

Для вывода уравнений математического описания процесса теплообмена через стенку следует рассмотреть тепловой баланс каждой среды, имеющей запас тепла. Он складывается из прихода и расхода тепла, которые определяют накопление тепла в объеме; накопление является временным процессом: накопление = приход - расход. В статике ввиду равенства прихода и расхода тепла накопление равно нулю.

Накопление связано с изменением температуры:

pc_pVΔT (4)

или для элементарного объема:

pc_PSdTd1, (5)

где р - плотность; с_Р - удельная теплоемкость; V - объем; S - сечение по­тока; d1 - элементарный участок потока.

Приход и расход тепла может определяться теплоотдачей (теплопередачей), а в случае проточной системы с распределенными параметрами - притоком и уносом тепла с конвективным потоком.

Количество тепла, поступающее в аппарат с конвективным потоком определяется как

υрс_рТτ (6)

или для элементарного объема за элементарное время dx:

υрс_рТdτ (7)

где и - объемный расход потока.

Количество тепла, уходящее из рассматриваемого объема с конвективным потоком определяется следующим выражением:

υрс_р (Т + ΔТ) τ (8)

или для элементарного объема:

υрс_р (Т + dT)dτ (9)

Приход тепла, определяемый теплопередачей:

k (T_BH - T)Vτ

или для элементарного объема за элементарное время:

k (T_BH - T)dldτ

где Т_ВН - температура внешнего теплоносителя.

С учетом полученных соотношений, накопление тепла в системе составит:

рс_рV ΔT= υрс_рТτ- υрс_р(T+ ΔT) τ+kF(T_ВН-T) τ

Проведя несложные преобразования, получим уравнение теплового баланса, описывающего динамику теплообменников, во всем объеме которых происходит полное (идеальное) смешение частиц потока:

рс_рV = υрс_р(T⁰-T)+kF(T_ВН-T) (14)

где Т°, Т - температура потока на входе и в зоне идеального смешения.

Соответственно для трубчатых теплообменников, работающих по принципу вытеснения, уравнение динамики будет выглядеть следующим образом:

рс_рdT/d τ=(- υрс_р/S)* dT/dl+kF(T_ВН-T)/V (15)

Ввиду того, что в статическом режиме накопление тепла в системе равно нулю, модель статики теплообменников смешения будет иметь вид:

υрс_р (T ° - T) + kF (Tbh - Т) = 0, (16)

статика трубчатых теплообменников описывается уравнением:

(17)

где F - периметр поверхности теплообмена.

Пример 1: Теплообменник представляет собой тонкостенный змеевик, по которому в режиме идеального вытеснения движется охлаждаемый поток жидкости. Змеевик погружен в воду, непрерывно протекающую через сосуд, так что температура охлаждающей воды ТВН практически постоянна и равна 1°°С во всем объеме.

Требуется определить температуру на выходе потока, идущего по змеевику со скоростью u = 4 м/с, если температура его на входе равна 95°С, длина трубки

змеевика L = 2 м, его сечение S = 10⁴ м², коэффициент теплопередачи k = 1,16 х10⁴Вт/(⁰См²)

Теплоемкость охлаждаемой жидкости с_Р = 2,93 х 103 Дж/(°С х кг), ее плотность р = 9°° кг/м3. Параметры считать не зависящими от температуры; изменение объема не учитывать. Режим работы считать стационарным.

Температура охлаждаемого потока Т подчиняется дифференциальному уравнению (7):

(₈)

где 1 - длина, r - радиус змеевика, Su = и - объемный расход потока. Начальное условие для уравнения (8) Т(0) = 95° С. Вычислим коэффициент уравнения:

α = м^-1

Уравнение (8) подлежит решению в пределах изменения независимой переменной 1 от 0 до 2 м.

Решение представлено на рис. 1. Температура на выходе потока составила

Рис. 1. Профиль температуры по длине теплообменника.

Пример 2: Жидкость охлаждается в теплообменнике типа "труба в трубе". Охлаждаемая жидкость и хладагент движутся параллельно (прямотоком). Требуется определить температуры потоков на выходе теплообменника, если начальная температура охлаждаемой жидкости равна 170° С, а хладагента 15° С. Плотность охлаждаемой жидкости и хладагента р = 900 кг/м3. Диаметры труб теплообменника: внутренней D1 = 0.01 м, наружной (для хладагента) D2 = 0,03 м.

Длина теплообменника L = 1 м. Теплоемкость жидкости и хладагента с_Р = 3.35 х10³ Дж/(⁰С×кг) Объемный расход охлаждаемой жидкости υ₁ = 2.28 х 10^-4 м /с,

хладагента υ₂ = 5.75 х 10^-4 м /с, коэффициент теплопередачи k = 4900 Вт/(м² х°С).

Температурный профиль по длине для каждого из потоков определяется решением системы дифференциальных уравнений:

(9

где T₁ и Т₂ - температура охлаждаемой и охлаждающей жидкости. Начальные условия: Т₁(0)=170°С; Т₂(0)=15°С.

После подстановки в уравнения (9) и (10) численных значений параметров получаем следующую систему: dT1/dl = 2.24(T2 - T1) dT2 /dl = 0.885(T1 - T2) одинакова. Температуры теплоносителей на выходе теплообменника равны: T1(L) = 64°С, Т2(Ц)= 57°С.

Список использованной литературы

1. Алексеев В.А. Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики.

2. Очков В.Д. MathCad 14 для студентов и иженеров.