Алгоритм нахождения собственного значения и собственных векторов матрицы

1.Решить характеристическое уравнение lA-JEl=0 то есть найти собственные числа J матрицы А.
2.Для нахождения собственных векторов матрицы А решить систему (А-JE)X=0 относительно неизвестных х1,х2..хn для каждого числа j.

38. Определение квадратичной формы от n переменных. Матрица квадратичной формы.
Опр. Квадратичной формой L(x1,x2….xn) от n переменных называется сумма каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
L(x1,x2)=9х1^2-12x1x2+10x2^2
матрица квадратичной формы называется симметричная матрица, составленная из её коэфициентов.

39. Матричный вид записи квадратичной формы.
В матричной записи квадратичная форма имеет вид L=X^T*AX, где Х-матрица столбец переменных.
Х= (х1)
(х2)
(хn)

40. Канонический вид квадратичной формы.

Квадратичная форма называется канонической, если все т. е.

Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.

40.

41. *Определение и признаки положительно (отрицательно) определенной квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
Квадратичная форма L(x1,x2….xn) называется положительно(отрицательно) определённой, если при всех значениях переменных(хотя бы одно не равно нулю)
L1=3x1^2+4x2^2+8x3^2 -положительно определённая
L2=-x1^2+2x1*x2 –x2^2 -отрицательно определённая

Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.

Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу

Тогда эта форма положительно определена, тогда и только тогда когда все её главные (угловые) миноры положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки чередуются, причём . Здесь главными минорами матрицы называются определители вида

Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица

45 Понятие n-мерного вектора. Понятие векторного (линейного) пространства.
Упорядоченная совокупность n действительных или комплексных чисел называется n-мерным вектором.
Векторное пространство—множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам.

46 Понятие линейной комбинации векторов.
Вектор аm называется линейной комбинацией векторов а1,а2….аm-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:
аm=J1a1+j2a2+…..jm-1*am-1, j1-какие угодно действительные числа.

47 Определение линейно зависимых векторов. Определение линейно независимых векторов.
Векторы а1,а2….аm векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа j1,j2….jm, не равные одновременно нулю что J1a1+j2a2+….jmam=0 В противном случае векторы а1,а2….аm называются линейно независимыми.

48 Понятие размерности пространства.
Это максимальное число содержащихся в нём линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R обозначается dim (R).