Элементы математической статистики

Решение типового варианта

Задание I

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:

Требуется:

1). записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

2). найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;

3). построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

4). найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);

5). приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости ;

6). найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .

Решение:

1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:

2). Находим размах варьирования: .

Иногда для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному . Число таких интервалов определяется формулой . В качестве границы первого интервала можно выбрать значение . Тогда границы следую­щих частичных интервалов вычисляем по формуле , где принимает значения от 1 до .

В нашем примере . Объём выборки , тогда . Примем за . Следовательно, разобьем наш вариационный ряд на интервалов.

Находим середины интервалов: . Подсчитываем число значений результатов эксперимента, по­павших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов .Далее вычисляем относительные частоты и их плотности . Все полученные результаты помещаем в таблицу (табл. 1).

Таблица 1.

Номер частичного ин­тервала i	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала	Относитель­ная частота	Плотность относитель- ной частоты
	43,40 – 43,96	43,68		0,07	0,13
	43,96 – 44,52	44,24		0,13	0,23
	44,52 – 45,08	44,80		0,12	0,21
	45,08 – 45,64	45,36		0,22	0,39
	45,64 – 46,20	45,92		0,25	0,45
	46,20 – 46,76	46,48		0,14	0,25
	46,76 – 47,32	47,04		0,06	0,11
	47,32 – 47,88	47,60		0,01	0,02
		–		–

3). Строим полигон частот – ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).

Рис. 1. Полигон частот

Рис.2. Гистограмма относительных частот

Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .

Итак, по определению,

,

где - число вариант, меньших ; - объём выборки.

, , ,

, , ,

, , .

Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3).

Рис. 3. График эмпирической функции распределения

4). Находим выборочное среднее:

и выборочную дисперсию: .

Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2.

	Границы интервала	Середина интервала	Частота интер­вала
	43,40 – 43,96	43,68		305,76	1907,94	13355,60
	43,96 – 44,52	44,24		575,12	1957,18	25443,31
	44,52 – 45,08	44,80		537,60	2007,04	24084,48
	45,08 – 45,64	45,36		997,92	2057,53	45265,65
	45,64 – 46,20	45,92		1148,00	2108,65	52716,16
	46,20 – 46,76	46,48		650,72	2160,39	30245,47
	46,76 – 47,32	47,04		282,24	2212,76	13276,57
	47,32 – 47,88	47,60		47,60	2265,76	2265,76
		–		4544,96	–

Из нее получаем: , , .

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой гене­ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:

, .

5). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.

По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:

1. вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;

2. по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;

3. если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;

если – нулевую гипотезу отвергают.

Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эм­пирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем ,т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы ин­тервалов: и . Наи­меньшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу (табл. 3). Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервал с частотой .

Таблица 3.

	Границы интервала			Границы интервала
	43,40 44,96	–	-0,49		-1,31
	43,96 44,52	-0,49	-0,93	-1,31	-1,02
	44,52 45,08	-0,93	-0,37	-1,02	-0,41
	45,08 45,64	-0,37	0,19	-0,41	0,21
	45,64 46,20	0,19	0,75	0,21	0,82
	46,20 46,76	0,75	1,31	0,82	1,44
	46,76 47,88	1,31	–	1,44

Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу (табл. 4). Значения функции берём из прил.1.

Таблица 4.

	Границы интервала
		-1,31	-0,5000	-0,4049	0,0951	9,51
	-1,31	-1,02	-0,4049	-0,3461	0,0588	5,88
	-1,02	-0,41	-0,3461	-0,1591	0,1870	18,70
	-0,41	0,21	-0,1591	0,0832	0,2423	24,23
	0,21	0,82	0,0832	0,2939	0,2107	21,07
	0,82	1,44	0,2939	0,4251	0,1312	13,12
	1,44		0,4251	0,5000	0,0749	7,49
	–	–	–	–

Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (табл. 5). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле:

Таблица 5

		9,51	-2,51	6,3001	0,6625		5,1525
		5,88	7,12	50,6944	8,6215		28,7415
		18,70	-6,70	44,89	2,4005		7,7005
		24,23	-2,23	4,9729	0,2052		19,9752
		21,07	3,93	15,4449	0,7330		29,6630
		13,12	0,88	0,7744	0,0590		14,9390
		7,49	-0,49	0,2401	0,0321		6,5421
			–	–	12,7138	–	112,7138

Контроль: .

По таблице критических точек распределения (см. прил. 3), уровню значимости и числу степеней свободы ( – число интервалов) нахо­дим: .

Так как , то гипотеза о нормальном распре­делении генеральной совокупности принимается.

6). Если случайная величина генеральной совокупности распределена нор­мально, то с надежностью можно утверждать, что математи­ческое ожидание случайной величины покрывается доверительным интервалом ,где – точностьоценки. Значение определяется из условия , т.е. .

В нашем случае: , , , , . Из прил.1 находим , . Доверитель­ным интервалом для будет . Доверитель­ный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклоне­ние с заданной надежностью : ,где находится по данным и из прил. 2. При и имеем: . Доверительным интервалом для будет .

Задание II

Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам (тыс. ден. Ед.) и по суточной выработке (т). Известно, что между и существует линейная корреляционная зависимость. Требуется:

1. найти уравнение прямой регрессии на ;

2. построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки ;

	4,5	6,0	7,5	9,0	10,5	12,0	13,5
						—	—	—
	—	—				—	—	—
	—	—	—	—				—
	—	—	—	—	—
	—	—	—	—	—
	—	—	—	—	—

Решение:

Для подсчёта числовых характеристик (выборочных средних и , выборочных средних квадратичных отклонений и и выборочного корреляционного момента ) составляем расчётную таблицу (табл.6). При заполнении таблицы осуществляем контроль по строкам и столбцам:

,

, ,

.

Вычисляем выборочные средние и , ; :

, .

Выборочные дисперсии находим по формулам:

,

.

Корреляционный момент вычисляем по формулам:

.

Оценкой теоретической линии регрессии является эмпирическая линия регрессии, уравнение которой имеет вид:

,

где ; ; .

Составляем уравнение эмпирической линии регрессии на :

,

.

Строим линию регрессии и случайные точки (рис.4).

Рис. 4.

Таблица 6.

		4,5	6,0	7,5	9,0	10,5	12,0	13,5
							—	—	—			187,5
		—	—				—	—	—			223,5
		—	—	—	—				—			292,5
		—	—	—	—	—						166,5
		—	—	—	—	—						103,5
		—	—	—	—	—						67,5
				67,5				148,5			—	—	—	—
											—	—	—	—
		40,5		506,25		2866,5		2004,7			—	—	—	—
											—	—	—	—

Задание I

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

1). записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;

2). найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;

3). построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

4). найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);

5). приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости α =0,025;

6). найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности γ = 0,99.

Задание II

Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам (тыс. ден. Ед.) и по суточной выработке (т). Известно, что между и существует линейная корреляционная зависимость. Требуется:

1. найти уравнение прямой регрессии на ;

2. построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки .

Вариант 1

1.1

2.1

	2,2	3,6	5,0	6,4	7,8	9,2	10,6
				—	—	—	—	—
	—			—	—	—	—	—
	—	—				—	—	—
	—	—	—				—	—
	—	—	—	—				—
	—	—	—	—	—	—

Вариант 2

1.2

2.2

	2,3	3,8	5,3	6,8	7,3	8,8	10,3	11,8
	—				—	—	—	—
	—				—	—	—	—
	—	—				—	—	—
	—	—	—	—				—
	—	—	—	—	—			—
	—	—	—	—	—	—
	—

Вариант 3

1.3

2.3

	22,0	22,4	22,8	23,2	23,6	24,0	24,4	24,8
1,00				—	—	—	—	—
2,20	—	—			—	—	—	—
1,40	—	—				—	—	—
1,60	—	—	—				—	—
1,80	—	—	—	—				—
2,00	—	—	—	—	—

Вариант 4

1.4

2.4

	21,0	21,3	21,6	21,9	22,2	22,5	22,8	23,1
0,90				—	—	—	—	—
1,05	—				—	—	—	—
1,20	—	—				—	—	—
1,35	—	—	—				—	—
1,50	—	—	—	—				—
1,65	—	—	—	—	—

Вариант 5

1.5

2.5

1,0				—	—	—	—	—
1,3	— <== предыдущая | следующая ==> по согласованию с преподавателями. |   Date: 2016-07-25; view: 3839; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: