В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда:
Требуется:
1). записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
2). найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;
3). построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
4). найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);
5). приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости ;
6). найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности .
44,8
46,2
45,6
44,0
46,4
45,2
46,7.
45,4
45,3
46,1
44,3
45,3
45,6
46,7
44,5
46,0
45,7
45,0
46,4
45,9
44,4
45,4
46,1
43,4
46,5
45,9
43,9
45,7
47,1
44,9
43,8
45,6
45,2
46,4
44,2
46,5
45,7
44,7
46,0
45,8
44,3
45,5
46,7
44,9
46,2
46,7
44,6
46,0
45,4
45,0
45,4
45,3
44,1
46,6
44,8
45,6
43,7
46,8
45,2
46,1
44,5
45,4
45,1
46,2
44,2
46,4
45,7
43,9
47,2
45,0
43,9
45,6
44,9
44,5
46,2
46.7
44,3
46,1
47,7
45,8
45,6
45,2
44,2
46,0
44,7
46,5
43,5
45,4
47,1
44,0
46,2
44,2
45,5
46,0
45,7
46,4
44,6
47,0
45,2
46,9
Решение:
1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:
43,4
43,5
43,7
43,8
43,9
43,9
43,9
44,0
44,0
44,1
44,2
44,2
44,2
44,3
44,3
44,3
44,4
44,5
44,5
44,5
44,6
44,6
44,7
44,7
44,8
44,8
44,8
44,9
44,9
44,9
45,0
45,0
45,1
45,2
45,2
45,2
45,2
45,2
45,3
45,3
45,3
45,4
45,4
45,4
45,4
45,4
45,4
45,5
45,5
45,6
45,6
45,6
45,6
45,6
45,7
45,7
45,7
45,7
45,7
45,7
45,8
45,8
45,9
45,9
46,0
46,0
46,0
46,0
46,0
46,0
46,1
46,1
46,1
46,1
46,2
46,2
46,2
46,2
46,2
46,4
46,4
46,4
46,4
46,4
46,5
46,5
46,5
46,6
46,7
46,7
46,7
46,7
46,7
46,8
46,9
47,0
47,1
47,1
47,2
47,7
2). Находим размах варьирования: .
Иногда для определения данных интервала используют формулу , где - объем выборки. За величину частичного интервала принимается некоторое удобное число, ближайшее к полученному . Число таких интервалов определяется формулой . В качестве границы первого интервала можно выбрать значение . Тогда границы следующих частичных интервалов вычисляем по формуле , где принимает значения от 1 до .
В нашем примере . Объём выборки , тогда . Примем за . Следовательно, разобьем наш вариационный ряд на интервалов.
Находим середины интервалов: . Подсчитываем число значений результатов эксперимента, попавших в каждый интервал, т.е. находим частоты интервалов .Далее вычисляем относительные частоты и их плотности . Все полученные результаты помещаем в таблицу (табл. 1).
Таблица 1.
Номер
частичного интервала i
Границы
интервала
Середина интервала
Частота
интервала
Относительная частота
Плотность относитель-
ной частоты
43,40 – 43,96
43,68
0,07
0,13
43,96 – 44,52
44,24
0,13
0,23
44,52 – 45,08
44,80
0,12
0,21
45,08 – 45,64
45,36
0,22
0,39
45,64 – 46,20
45,92
0,25
0,45
46,20 – 46,76
46,48
0,14
0,25
46,76 – 47,32
47,04
0,06
0,11
47,32 – 47,88
47,60
0,01
0,02
–
–
3). Строим полигон частот – ломанную линию, отрезки которой соединяют точки , , …, (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною , а высоты равны плотности относительной частоты (рис.2).
Рис. 1. Полигон частот
Рис.2. Гистограмма относительных частот
Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения относительную частоту события .
Итак, по определению,
,
где - число вариант, меньших ; - объём выборки.
, , ,
, , ,
, , .
Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3).
Рис. 3. График эмпирической функции распределения
4). Находим выборочное среднее:
и выборочную дисперсию: .
Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).
Таблица 2.
Границы
интервала
Середина интервала
Частота
интервала
43,40 – 43,96
43,68
305,76
1907,94
13355,60
43,96 – 44,52
44,24
575,12
1957,18
25443,31
44,52 – 45,08
44,80
537,60
2007,04
24084,48
45,08 – 45,64
45,36
997,92
2057,53
45265,65
45,64 – 46,20
45,92
1148,00
2108,65
52716,16
46,20 – 46,76
46,48
650,72
2160,39
30245,47
46,76 – 47,32
47,04
282,24
2212,76
13276,57
47,32 – 47,88
47,60
47,60
2265,76
2265,76
–
4544,96
–
Из нее получаем: , , .
Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объёме выборки.
Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:
, .
5). Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения. Имеется несколько критериев согласия: («хи квадрат») К. Пирсона, Колмагорова, Фишера, Смирнова и др.
По условию задачи нам необходимо использовать критерий Пирсона, правило применения которого сводится к следующему:
1. вычислить теоретические частоты, затем наблюдаемое значение критерия по формуле ;
2. по таблице критических точек распределения , по заданному уровню значимости и числу степеней свободы , где – число интервалов, найти критическую точку ;
3. если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу;
если – нулевую гипотезу отвергают.
Согласно критерию Пирсона необходимо сравнить эмпирические и теоретические частоты. Эмпирические частоты даны. Найдем теоретические частоты. Для этого пронумеруем ,т.е. перейдем к случайной величине и вычислим концы интервалов: и . Наименьшее значение положим стремящимся к , а наибольшее – , стремящимся к . Результаты занесем в таблицу (табл. 3). Число наблюдений в отдельных интервалах должно быть достаточно большим (рекомендуется иметь в каждом интервале не менее 5-10 наблюдений). Если в отдельных интервалах очень малы, следует объединить интервалы. Длины интервалов могут быть различными. В соответствии с этим число исходных интервалов может быть уменьшено. Так как , то последний девятый интервал объединим с восьмым и получим интервал с частотой .
Таблица 3.
Границы интервала
Границы интервала
43,40 44,96
–
-0,49
-1,31
43,96 44,52
-0,49
-0,93
-1,31
-1,02
44,52 45,08
-0,93
-0,37
-1,02
-0,41
45,08 45,64
-0,37
0,19
-0,41
0,21
45,64 46,20
0,19
0,75
0,21
0,82
46,20 46,76
0,75
1,31
0,82
1,44
46,76 47,88
1,31
–
1,44
Находим теоретические вероятности и теоретические частоты: . Составляем расчетную таблицу (табл. 4). Значения функции берём из прил.1.
Таблица 4.
Границы интервала
-1,31
-0,5000
-0,4049
0,0951
9,51
-1,31
-1,02
-0,4049
-0,3461
0,0588
5,88
-1,02
-0,41
-0,3461
-0,1591
0,1870
18,70
-0,41
0,21
-0,1591
0,0832
0,2423
24,23
0,21
0,82
0,0832
0,2939
0,2107
21,07
0,82
1,44
0,2939
0,4251
0,1312
13,12
1,44
0,4251
0,5000
0,0749
7,49
–
–
–
–
Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу (табл. 5). Последние два столбца служат для контроля вычислений по формуле:
Таблица 5
9,51
-2,51
6,3001
0,6625
5,1525
5,88
7,12
50,6944
8,6215
28,7415
18,70
-6,70
44,89
2,4005
7,7005
24,23
-2,23
4,9729
0,2052
19,9752
21,07
3,93
15,4449
0,7330
29,6630
13,12
0,88
0,7744
0,0590
14,9390
7,49
-0,49
0,2401
0,0321
6,5421
–
–
12,7138
–
112,7138
Контроль:.
По таблице критических точек распределения (см. прил. 3), уровню значимости и числу степеней свободы ( – число интервалов) находим: .
Так как , то гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.
6). Если случайная величина генеральной совокупности распределена нормально, то с надежностью можно утверждать, что математическое ожидание случайной величины покрывается доверительным интервалом ,где – точностьоценки. Значение определяется из условия , т.е. .
В нашем случае: , , , , . Из прил.1 находим , . Доверительным интервалом для будет . Доверительный интервал, покрывающий среднее квадратичное отклонение с заданной надежностью : ,где находится по данным и из прил. 2. При и имеем: . Доверительным интервалом для будет .
Задание II
Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам (тыс. ден. Ед.) и по суточной выработке (т). Известно, что между и существует линейная корреляционная зависимость. Требуется:
1. найти уравнение прямой регрессии на ;
2. построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки ;
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
13,5
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Решение:
Для подсчёта числовых характеристик (выборочных средних и , выборочных средних квадратичных отклонений и и выборочного корреляционного момента ) составляем расчётную таблицу (табл.6). При заполнении таблицы осуществляем контроль по строкам и столбцам:
,
, ,
.
Вычисляем выборочные средние и , ; :
, .
Выборочные дисперсии находим по формулам:
,
.
Корреляционный момент вычисляем по формулам:
.
Оценкой теоретической линии регрессии является эмпирическая линия регрессии, уравнение которой имеет вид:
,
где ; ; .
Составляем уравнение эмпирической линии регрессии на :
,
.
Строим линию регрессии и случайные точки (рис.4).
Рис. 4.
Таблица 6.
4,5
6,0
7,5
9,0
10,5
12,0
13,5
—
—
—
187,5
—
—
—
—
—
223,5
—
—
—
—
—
292,5
—
—
—
—
—
166,5
—
—
—
—
—
103,5
—
—
—
—
—
67,5
67,5
148,5
—
—
—
—
—
—
—
—
40,5
506,25
2866,5
2004,7
—
—
—
—
—
—
—
—
Задание I
В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:
1). записать значения результатов эксперимента в виде вариационного ряда;
2). найти размах варьирования и разбить его на ряд частичных интервалов;
3). построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;
4). найти числовые характеристики выборки (математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение);
5). приняв в качестве нулевой гипотезу : генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить её, критерием Пирсона при уровне значимости α =0,025;
6). найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратичного отклонения при надежности γ = 0,99.
Задание II
Дана таблица распределения 100 заводов по производственным средствам (тыс. ден. Ед.) и по суточной выработке (т). Известно, что между и существует линейная корреляционная зависимость. Требуется:
1. найти уравнение прямой регрессии на ;
2. построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки .
mydocx.ru - 2015-2025 year. (0.063 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию