Возведение в степень

Из операции умножения комплексных чисел следует, что

В общем случае получим:

,

где n – целое положительное число.

Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик).

Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.

Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.

Рассмотрим некоторое комплексное число

Тогда с одной стороны .

По формуле Муавра: .

Приравнивая, получим .

Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то

Получили известные формулы двойного угла.

Извлечение корня из комплексного числа

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n –ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

7.5. Показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3) где m – целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.

Пример. Даны два комплексных числа . Требуется а) найти значение выражения в алгебраической форме, б) для числа найти тригонометрическую форму, найти z²⁰, найти корни уравнения

a) Очевидно, справедливо следующее преобразование:

Далее производим деление двух комплексных чисел:

Получаем значение заданного выражения: 16(- i)⁴ = 16 i ⁴ =16.

б) Число представим в виде , где

Тогда .

Для нахождения воспльзуемся формулой Муавра.

Если , то

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Дайте определение комплексного числа.

2. Какие числа комплексно-сопряженными?

3. Какие комплексные числа называются равными?

4. Как геометрически изображаются комплексные числа?

5. Какие действия над комплексными числами выполняются в алгебраической форме?

6. Дайте определение тригонометрической формы комплексного числа.

7. Какие действия над комплексными числами выполняются в тригонометрической форме?

8. Как осуществляется переход от записи комплексного числа, заданного в алгебраической форме, к его тригонометрической форме?

9. Как записать комплексное число в показательной форме?

10. Что называется тождеством Эйлера?