Связь между напряжениями и деформациями

В общем случае объемного напряженного состояния в пределах упругого нагружения эта связь устанавливается законом Гука

(1)

где Е - модуль упругости первого рода, имеет размерность напряжений;

G - модуль упругости второго рода, имеет размерность напряжений;

- коэффициент Пуассона: <1, которые принимаются постоянными и связаны между собой зависимостью

(1а)

Решив совместно приведенные уравнения (1) относительно напряжений и вычитая последовательно одно из другого, получим с учетом 1а

Данные уравнения определяют подобие кругов Мора для напряжений и деформаций и их можно записать в виде

(2)

При пластических деформациях имеют место аналогичные зависимости, но только для случая простого нагружения, когда внешние силы от начала их приложения возрастают пропорционально некоторому общему параметру, т.е. когда направления главных линейных деформаций (удлинение либо укорочение) совпадают с направлениями нормальных напряжений, например, при равномерном растяжении стержня в условиях линейного напряженного состояния.

Зависимости между напряжениями и деформациями в этих условиях могут быть установлены лишь для малых пластических деформаций, когда изменением напряженно-деформированного состояния во времени можно пренебречь. Эта связь описывается в рамках так называемой деформационной теории.

При установлении данной связи принимаются следующие положения:

1) Изменением объема тела при пластической деформации пренебрегают .

2) Компоненты деформаций пропорциональны компонентам напряжений аналогично зависимости (1)

(3)

где вместо модулей упругости первого и второго рода (E, G) используются соответственно модули пластичности первого и второго рода (), а коэффициент Пуассона и, следовательно, .

Тогда по аналогии с выражением (2) запишем

(4)

Данная зависимость может быть установлена из подобия диаграмм Мора для напряжений и деформаций.

Разница между кругами Мора напряжений и деформаций заключается в том, что ось кругов Мора для деформаций проходит через поле этих кругов, т.к. сумма двух главных деформаций равна третьей с обратным знаком.

Пользуясь соотношениями (4) можно написать обобщенное уравнение связи напряжений с деформациями , поскольку в соответствии с гипотезой «единой кривой» интенсивность напряжений является функцией интенсивности деформаций и эта функция не зависит от вида напряженного состояния.

При пластическом формоизменении определяет степень упрочнения материала, а, следовательно, . Кривую можно построить на основании опытных данных, например, при одноосном растяжении образца. Сходство зависимости (2) и (3) лишь формальное, поскольку модули упругости являются константами, а модули пластичности изменяются в процессе деформирования и каждое значение их справедливо лишь для данного момента пластического деформирования.

При деформировании в различных температурно-скоростных условиях формоизменение тела рассматривают как процесс движения сплошной среды, изменяющийся во времени, что уподобляется движению вязкой жидкости. В этом случае пользуются другой теорией, а именно теорией течения, устанавливающей связь между напряжениями и скоростями деформаций (приращениями деформаций).

Уравнения связи между напряжениями и скоростями деформаций аналогичны выражению (3)

Но здесь степени деформаций заменены скоростями деформаций, а модули пластичности – соответствующими показателями вязкости и . В теории течения интенсивность напряжений для каждого материала является функцией интенсивности скоростей деформации