Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Доказательство

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по Лемме Ферма, в этой точке производная равна 0.

Геометрическая интерпретация теоремы Ролля

Из теоремы Ролля следует, что существует точка с Î (a, b), в которой касательная к графику функции f(x) параллельна оси ОX

22. Теоремы Коши и Лагранжа.

Теорема Лагранжа. Пусть функция дифференцируема в открытом промежутке и сохраняет непрерывность на концах этого промежутка. Тогда существует такая точка , что

Теорема Коши. Пусть функции и непрерывны в замкнутом промежутке ; дифференцируемы в открытом промежутке ; в открытом промежутке . Тогда существует такая точка , что

23. Правило Лопиталя. Примеры применения.

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0/0 {\displaystyle 0/0} и ∞/∞{\displaystyle \infty /\infty }.Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

24. Условия возрастания и убывания функции на интервале. Вывод условий. Примеры применения.

Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке положительна (f'(x)>0), то на этом промежутке функция возрастает.
Если производная некоторой непрерывной функции f(x) на некотором промежутке отрицательна (f'(x)<0), то на этом промежутке функция убывает.

25. Понятие экстремума функции с одним аргументом. Необходимые условия существования экстремума функции с одним аргументом. Вывод условий. Пример недостаточности необходимых условий.