Формула средней арифметической.

Использование статистических методов качества при производстве двигателей.

Выполнил: Благодарёв Д.В.

студент группы M354KC

Руководитель: Фролова Е.А.

Оценка _______________ ______________

подпись преподавателя

«____» ___________15

Санкт-Петербург

2015 г

Содержание

Введение…………………………………………………………………….………..3

1. Теоретическая часть…………………………………………………….…….4

1.1 Статистическая обработка результатов измерения………………………...4

1.2 Контрольные карты средних значений и размахов и средних значений и дисперсий …………........................................................................9

1.3 Диаграмма Исикавы………………………………………………………...13

1.4 Вывод по первому разделу…………………………………………………15

2 Практическая часть……………………………………….…………………..16

2.1 Определение параметров выборки ………………………………………..16

2.2 Контрольные карты средних значений и размахов , x- …………..17

2.3 Диаграмма Исикавы………………………………………………………...20

Заключение……………………………………………………………………….....21

Список литературы ………………………………………………………………...22

Приложения………………………………………………………………………....23

Введение

Статистические методы - это инструмент, позволяющий находить проблемы и из их массы выделять самые главные. То есть статистические методы - это обслуживающий механизм классификационного подхода.

В производстве двигателей статистические методы применяются для проведения анализа качества продукции и процесса. Анализом качества является анализ, посредством которого с помощью данных и статистических методов определяется отношение между точными и замененными качественными характеристиками.

Анализом процесса является анализ, позволяющий уяснить связь между причинными факторами и таким результатами, как качество, стоимость, производительность и т. д. Контроль процесса предусматривает вы явление причинных факторов, влияющих на бесперебойное функционирование производственного процесса Качество, стоимость и производительность являются результатами процесса контроля.

С помощью семи статистических методов может быть выполнено 95 % анализа процесса.

При различных методах контроля, как, например по схеме "планирование - выполнение - проверка - воздействие", постоянно возникала проблема контроля результатов. Если все идет хорошо, необходимости в контроле нет. При сбоях или нарушениях производственного процесса необходимо проверить все методы контроля и обеспечить основу для принятия решения.

Однако не следует забывать, что количество причин влияющих на производственный процесс и другие виды деятельности (являющихся частью процесса), может быть неограниченным. В связи с этим наблюдается разброс результатов всех видов деятельности. Иначе говоря, статистическое распределение вероятностей будет иметь место постоянно. При проведении контроля мы должны, следовательно, руководствоваться и ориентироваться на статистическое распределение вероятностей.

Для этой цели наиболее эффективно используются контрольные карты, разработанные У. А. Шухартом. В настоящее время карты Шухарта широко применяются в статистическом контроле.

Теоретическая часть

1.1 Статистическая обработка результатов измерения

1.1.1 Среднее

Средняя величина – это обобщающая характеристика множества индивидуальных значений некоторого количественного признака.

Формула средней арифметической.

, (1)

где x_i – значения переменной,

n – количество значений.

Словами можно сказать, что среднее арифметическое – это соотношение суммы значений по некоторому показателю с количеством таких значений.

Средняя величина характеризует изучаемую совокупность по одному признаку.

Средняя величина выражается в тех же единицах, что и сами варианты предложенные для расчета.

1.1.2 Дисперсия

Дисперсия – она характеризует разброс значений случайной величины относительно математического ожидания.

Определяется по формуле:

, (2)

где – дисперсия

x – случайная величина

n – частость.

В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднем квадратичным отклонением. Среднее квадратичное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

1.1.3 Среднее квадратичное отклонение

Среднее квадратичное отклонение – это показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Среднее квадратичное отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами. Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического используется для оценки погрешности результата измерений с многократными наблюдениями.

Определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины.

Определяется по формуле:

, (3)

Где – среднее квадратичное отклонение

– дисперсия

1.1.4 Закон трех сигм

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина x с математическим ожиданием, равным а и дисперсией s². Определим веро­ятность попадания x в интервал (а – 3s; а + 3s), то есть вероятность того, что x принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения.

P (а – 3s< x < а + 3s)= Ф (3) – Ф (–3)=2 Ф (3) (4)

2 Ф (3) практически равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3s.

(Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2,8, 2,9 или 3,2 и получить тот же вероятностный результат.)

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса —распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

где параметр μ — математическое ожидание, медиана и мода распределения, а параметр σ — стандартное отклонение (σ² — дисперсия) распределения.

Таким образом, одномерное нормальное распределение является двухпараметрическим семейством распределений.

Гауссова функция — математическая функция, описываемая следующей формулой:

где параметры μ и σ — вещественные числа.

Названа в честь Карла Фридриха Гаусса.

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием μ = 0 и стандартным отклонением σ = 1

Рис. 1 – Гауссова функция

1.1.5 Гистограмма

Гистограмма – это способ представления статистических данных в графическом виде – в виде столбчатой диаграммы. Она отображает распределение отдельных измерений параметров изделия или процесса. Иногда ее называют частотным распределением, так как гистограмма показывает частоту появления измеренных значений параметров объекта.

Высота каждого столбца указывает на частоту появления значений параметров в выбранном диапазоне, а количество столбцов – на число выбранных диапазонов.

Важное преимущество гистограммы заключается в том, что она позволяет наглядно представить тенденции изменения измеряемых параметров качества объекта и зрительно оценить закон их распределения. Кроме того, гистограмма дает возможность быстро определить центр, разброс и форму распределения случайной величины. Строится гистограмма, как правило, для интервального изменения значений измеряемого параметра.

Порядок построения гистограммы:

1. Собираются статистические данные – результаты измерений параметра объекта. Для того, чтобы гистограмма позволяла оценить вид распределения случайной величины предпочтительно иметь не менее тридцати результатов измерений.

2. Выявляется наибольшее и наименьшее значение показателя среди полученных результатов измерений.

3. Определяется ширина диапазона значений показателя – из наибольшего значения показателя вычитается наименьшее значение.

4. Выбирается надлежащее число интервалов в пределах, которых необходимо сгруппировать результаты измерений.

5. Устанавливаются границы интервалов. Границы интервалов необходимо установить так, чтобы значения данных не попадали ни на одну из границ интервала.

6. Подсчитывается число попаданий значений результатов измерений в каждый из интервалов.

7. Строится гистограмма – на оси абсцисс (горизонтальной оси) отмечаются интервалы, а на оси ординат (вертикальной оси) отмечается частота попаданий результатов измерений в каждый интервал. Интервалы можно устанавливать в натуральных единицах (если позволяет масштаб), т.е. в тех единицах, в которых проводились измерения, либо каждому интервалу можно присвоить порядковый номер и отмечать на оси абсцисс номера интервалов. В результате получается столбчатая диаграмма, представленная на рисунке ниже.

Рис.2 – Гистограмма

Если на контролируемый параметр существует поле допуска, то гистограмма может содержать верхнюю и нижнюю границы поля допуска. Это позволяет увидеть в какую сторону и как смещается значение контролируемого показателя относительно поля допуска. Границы наносятся по оси абсцисс.

Гистограмма, представленная на рисунке выше имеет форму нормального распределения, что говорит о стабильности процесса, но часто бывает, что форма распределения отклоняется от нормального. Это свидетельствует о нарушениях в процессе и необходимости применения управляющих воздействий. Некоторые, часто встречающие отклонения и их причины представлены ниже.

Виды гистограмм:

Гистограмма смещена влево (асимметрия влево):

Может вызываться смещением процесса к верхней границе допуска, либо из множества измерений отсортированы результаты, которые выпадают за пределы верхней границы допуска, либо природа процесса физически запрещает любые измерения больше чем максимальные значения допуска.

Рис.3 – Асимметрия влево

Гистограмма смещена вправо (асимметрия вправо):

Может вызываться смещением процесса к нижней границе допуска, либо из множества измерений отсортированы результаты, которые выпадают за пределы нижней границы допуска, либо природа процесса физически запрещает любые измерения меньше чем минимальные значения допуска.

Рис.4 – Асимметрия вправо

Гистограмма с двумя пиками:

Гистограмма отображает два совмещенных процесса. Такая ситуация может произойти если результаты измерений получены от двух разных устройств, двух операторов, контролеров, разных измерительных инструментов, или с разных точек измерения.

Рис.5 – Гистограмма с двумя пиками

Гистограмма усечена:

Распределение не является нормальным т.к. нет постепенного снижения частоты результатов измерений от центра к границам допуска. Такой вид гистограммы возникает если процесс не способен удовлетворять спецификациям и часть измерений отсортирована с двух сторон при приближении к границам допуска, либо потеряны чересчур малые значения результатов измерений.

Рис.6 – Гистограмма усечена

Гистограмма не имеет центра:

Центр распределения был отсортирован из набора данных результатов измерений. Такая ситуация может возникнуть из-за недостаточных требований в инженерной спецификации.

Рис.7 – Гистограмма не имеет центра

1.2 Контрольные карты средних значений и размахов и средних значений и дисперсий

Контрольная карта - это графическое средство, использующее статистические подходы, важность которых для управления производственными процессами была впервые показана доктором У.Шухартом в 1924 г.
Цель контрольных карт - обнаружить неестественные изменения в данных из повторяющихся процессов и дать критерии для обнаружения отсутствия статистической управляемости. Процесс находится в статистически управляемом состоянии, если изменчивость вызвана только случайными причинами. При определении этого приемлемого уровня изменчивости любое отклонение от него считают результатом действия особых причин, которые следует выявить, исключить или ослабить.

Применяются контрольные карты при массовом производстве, когда карты индивидуальных значений не применимы из-за громоздкости.

При использовании карт выводы о стабильности (устойчивости процесса) делаются на основе данных полученных при анализе небольшого числа представителей всех рассматриваемых изделий.

При этом все изделия объединяются в партии в порядке изготовления и от каждой партии берутся небольшие выборки по данным которых строятся контрольные карты.

Контрольная карта используется для анализа состояния объекта управления.

Контролируемое состояние объекта – это такое состояние, когда процесс стабилен, его среднее и разброс не меняется.

Выход из контролируемого состояния определяется по контрольной карте по следующим критериям:

1) Выход точек за контрольные пределы

Рис.8 – Выход точек за контрольные пределы

2) Серия – это такое проявление, когда точки неизменно оказываются по одну сторону от средней линии.

Число таких точек называется длинной серии. Серия длиной в 7 точек рассматривается, как не случайная.

Если длина серии оказывается менее 6 точек, то в ряде случаев ситуацию следует рассматривать, как не случайную.

Например, когда не менее 10 из 11 точек оказываются по одну сторону от средней линии.

Рис.9 – Серия

3) Тренд (дрейф) – если точки образуют непрерывно повышающуюся или непрерывно понижающую кривую, то это тренд.

Рис.10 – Тренд (дрейф)

4) Приближение к контрольным зонам

Рис.11 – Приближение к контрольным зонам

Рассматриваются точки, которые приближаются к трехсигмовым интервалам, если 2 или3 точки оказываются за , то такой случай рассматривается как ненормальный.

Порядок построения контрольных карт:

1) Определяется объем партий изделий, из которых берутся выборки.

Партия может составлять как выборка за час, смену или другой период времени. Может формироваться из потоков определенными группами изделий. Желательно, чтобы объемы партии были одинаковые.

2) Из каждой партии берется выборка (от 2 до 10 значений) одинакового объема.

3) В каждой выборке определяется среднее значение и размах

R= - (5)

4) Вычисляются общее среднее значение, общий средний размах и средняя дисперсия

(6)

(7)

= (8)

5) Вычисляются и наносятся контрольные границы

карта

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

карта

= * (15)

= (16)

–нет (17)

Коэффициенты определяются по таблице из ГОСТа 50779.42-99, приведённой в приложение.

Рис.12 – Контрольная карта

Рис.13 – Контрольная карта

1.3 Диаграмма Исикавы

Диаграмма Исикавы — графический способ исследования и определения наиболее существенных причинно-следственных взаимосвязей между факторами и последствиями в исследуемой ситуации или проблеме.

Диаграмма названа в честь одного из крупнейших японских теоретиков менеджмента профессора Каору Исикавы который предложил её в 1952 году ак дополнение к существующим методикам логического анализа и улучшения качества процессов в промышленности Японии. Исикава является одним из разработчиков новой концепции организации производства, воплощённой на фирме «Тойота». Предложенная профессором Исикавой схема ясно показывает работу над улучшением качества производственных процессов. Она, как и большинство инструментов качества, является средством визуализации и организации знаний, который систематическим образом облегчает понимание и конечную диагностику определённой проблемы.

Такая диаграмма позволяет выявить ключевые взаимосвязи между различными факторами и более точно понять исследуемый процесс. Диаграмма способствует определению главных факторов, оказывающих наиболее значительное влияние на развитие рассматриваемой проблемы, а также предупреждению или устранению действия данных факторов.

Схема находит широкое применение при разработке новой продукции, с целью выявления потенциальных факторов, действие которых вызывает общий эффект.

Вид диаграммы при рассмотрении поля исследуемой проблемы действительно напоминает скелет рыбы (глаза обычно движутся слева направо, как при чтении строки текста). Проблема обозначается основной стрелкой. Факторы, которые усугубляют проблему, отражают стрелками, покосившимися к основной вправо, а те, которые нейтрализуют проблему — с наклоном влево. При углублении уровня анализа к стрелкам факторов могут быть добавлены стрелки влияющих на них факторов второго порядка и т.д.

Ключевая задача заключается в том, чтобы иметь от трёх до шести основных категорий, которые охватывают все возможные влияния. Фактически максимальная глубина такого дерева достигает четырёх или пяти уровней. Когда такая создаваемая диаграмма является полной, она воспроизводит достаточно полную картину всех возможных основных причин определённой проблемы.

Диаграмма Исикавы используется как аналитический инструмент для просмотра действия возможных факторов и выделение наиболее важных причин, действие которых порождает конкретные следствия и поддается управлению.

Преимущества метода:

1. помогает группе сосредоточиться на содержании проблемы;

2. хорошая основа для дискуссии по разнообразным причинам проблемы;

3. позволяет группировать причины в самостоятельные категории;

4. сосредотачивает группу на поиске причин, а не признаков;

5. хорошо применим при групповом обсуждении, создает результат коллективного знания;

6. является легко осваиваемым и применимым.

Недостатками могут быть:

1. для анализа комплексных проблем является слишком нечетким и объемным;

2. нельзя представить причинно-следственные связи в соединении друг с другом;

3. нет охвата причин в их взаимодействии и временной зависимости.

Последовательность построения диаграммы Исикавы:

1. Проясняют и оговаривают следствие или проблему. Рисуют диаграмму и вносят основные величины влияния: исходный пункт - это горизонтальная стрелка вправо, в острие которой ставят ясно сформулированную проблему. К линии под наклоном стыкуют стрелки основных причин влияния на проблему.

2. Отрабатывают более подробно по каждой основной причине возможные более подробные величины влияния и вносят под наклоном к основной стрелке. Если устанавливают, что в основе этих причин лежат другие, то боковая стрелка снова может разветвляться; таким образом, получают более мелкое разветвление.

3. Проверяют полноту: действительно ли учтены все возможные причины. Посредством визуализации могут легко обнаружиться еще и другие причины.

4. Выбирают более реалистичные высказывания о причинах. Потенциальные причины оцениваются в отношении их степени влияния на проблему. Затем устанавливается перечень причин с наибольшей реальной степенью влияния.

5. Проверяют установленные самые вероятные причины на достоверность: посредством опроса специалистов в заключении анализируется, обнаружились ли действительно правильные причины проблемы.

Пример диаграммы Исикавы:

Рис.14 – Диаграмма Исикавы

1.4 Вывод по первому разделу

Статистические методы, являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых явлений (объектов, процессов) в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

Практическая часть

2.1 Определение параметров выборки

2.1.1 Среднее

Рассмотрев таблицу исходных данных по формуле 1 нашли среднее значение

2.1.2 Дисперсия

По формуле 2 рассчитаем дисперсию

=10,7776

2.1.3 Среднее квадратичное отклонение

По формуле 3 рассчитаем среднее квадратичное отклонение

σ= 3,282926

2.1.4 Закон трех сигм

По формуле 4 рассчитаем

Верхнее отклонение

Р=33,32+3*3,282926=43,168778

Нижнее отклонение

Р=33,32-3*3,282926=23,471222

Анализ по закону трех сигм показывает отсутствие грубых отклонений

2.1.5 Гистограмма

Табл.1

Размах	25-27	27-29	29-31	31-33	33-35	35-37	37-39	39-41	41-43
n

Рис.15 – Гистограмма

Вывод: По рисунку видно, что гистограмма стандартного типа. Процесс идет хорошо.

2.2 Контрольные карты средних значений и размахов , x-

карта

1) По формуле 5 определяется среднее значение и размах

R=43-25=18

2) По формуле 6 определяем общее среднее значение

33,32

По формуле 7 определяем общий средний размах

1,477778

3) По формулам 9,10,11,12,13,14 определяем контрольные границы

карта

=33,77516

=32,86484

=33,32

карта

=2,62

=1,48

=0,34

карта

Табл.2

	UCLR	LCLR	CLR
32,5	33,77516	32,86484	33,32
33,6	33,77516	32,86484	33,32
36,1	33,77516	32,86484	33,32
34,2	33,77516	32,86484	33,32
34,5	33,77516	32,86484	33,32
31,9	33,77516	32,86484	33,32
33,9	33,77516	32,86484	33,32
33,2	33,77516	32,86484	33,32
32,3	33,77516	32,86484	33,32
	33,77516	32,86484	33,32

Рис.16 – Контрольная карта

Вывод: По построенной контрольной - карте видно, что точность отверстий, просверленных в лопатках двигателей, не соответствуют требованиям и требуют вмешательства, т.к. точки карты выходит за контрольные границы.

карта

Табл.3

	UCL	LCL	CL
1,1	2,62	1,48	0,34
2,5	2,62	1,48	0,34
1,9	2,62	1,48	0,34
0,3	2,62	1,48	0,34
2,6	2,62	1,48	0,34
	2,62	1,48	0,34
0,7	2,62	1,48	0,34
0,9	2,62	1,48	0,34
1,3	2,62	1,48	0,34

Рис.17 – Контрольная карта

Вывод: По построенной контрольной -карте видно, что размах точности размера в середине больше, чем в начале и конце периода. Так же видно, что две точки приближаются к контрольным границам.

карта

1) По формуле 8 определяем

=3,026011

По формулам 15,16,17 определяем контрольные границы

=5,377222

= 3,026011

— нет

карта

Табл.4

	UCL	CL
2,27303	5,377222	3,026011
2,1187	5,377222	3,026011
2,601282	5,377222	3,026011
4,131182	5,377222	3,026011
4,034573	5,377222	3,026011
2,766867	5,377222	3,026011
2,960856	5,377222	3,026011
3,489667	5,377222	3,026011
1,828782	5,377222	3,026011
4,055175	5,377222	3,026011

Рис.18 – Контрольная карта

Вывод: На графике видно, что точки карты не выходят за контрольные границы

2.3 Диаграмма Исикавы

Точность отверстий, просверленных в лопатках двигателя, не соответствуют требованиям. Основные причины, которые повлияли на проблему: человек, машина, методы, материал, окружающая среда.

По каждой из этих основных причин, определяем более подробные величины влияния и вносим под наклоном к основной стрелке. Под причинами для причины «Человек» могут являться состояние здоровья, не позволяющее рабочему выполнить работу правильно, отсутствие профессиональных навыков, что повлияло на не точность отверстий. Таким образом, составим схему в форме рыбной кости.

Рис.19-Диаграмма Исикавы

Заключение

Производитель, чтобы оставаться конкурентоспособным на рынке предоставления продукции и услуг, должен контролировать их качество по результатам выборочного контроля судить о состоянии соответствующего процесса. Благодаря этому он своевременно обнаруживает разладку процесса и корректирует его.

Статистические методы, являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых процессов в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

В курсовом проекте были рассмотрены инструменты статистического анализа данных среднее, дисперсия, среднее квадратичное отклонение, закон трех сигм, гистограмма, контрольные карты, диаграмма Исикавы.

Список литературы

1. ГОСТ Р 50779.42-99 Статистические методы. Контрольные карты Шухарта. М.: ИПК Издательство стандартов, 1999. 32 с.
2. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцева В.Н. Общая теория статистики: Учебник. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 416 с.
3. Ефимова М. Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2005. -336 с.
4. Ефимов В.В., Барт Т. В. Статистические методы в управлении качеством продукции: учебное пособие./ В.В. Ефимов, Т.В. Барт. – М.: КНОРУС, 2006. 172 с.
5. Шмойлова Р.А. Практикум по теории статистики: учеб. пособие / Р.А Шмойлова, Н.А. Садовникова; под ред. Р.А. Шмойловой. - 3-е изд. - М.: Финансы и статистика, 2011. - 416 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Коэффициент для вычисления линий контрольных карт

Табл.1