Для упрощения расчетов

Отношение правдоподобия можно заменить его логарифмом

.

При принимается гипотеза ; при принимается гипотеза ; при проводятся дополнительные измерения. Параметры выбирают так, чтобы обеспечить заданные вероятности ошибок

.

При активном эксперименте есть возможность набрать большой объем результатов измерения, но предполагает возможность выбора в каждом измерении тех значений факторов, которые представляют интерес. Если на предварительном этапе анализа результатов измерения необходимо рассматривать как можно больше факторов, но в дальнейшем те факторы, влияние которых на выходные параметры оказывается незначительным, должны быть исключены. При большом числе факторов используют Акт.эксперим. – совокупность методов отсеивания несущественных факторов.

Наиболее известным методом планирования отсеивающих экспериментов является метод случайного баланса. Он предполагает потерю небольшого числа значимых факторов в общей массе незначимых параметров: Пусть по результатам аппроксимации результатов измерения выбрана модель

,

где - случайная погрешность эксперимента.

Из k факторов выделяют l факторов как шум, при этом

,

где .

Активный эксперимент, целью которого является оптимизация аппроксимирующей модели, называется экстремальным экспериментом. Планирование такого эксперимента заключается в выборе минимального количества и условий проведения измерений, необходимых для нахождения оптимальных условия. Поиск оптимальных условий состоит в последовательном уточнении модели исследуемого объекта.

21. Моделиpование пpоцессов тепло- и массообмена в системе с сосpедоточенными и системе с pаспpеделенными паpаметpами. Нарисовать объект с сосpедоточенными и объект с pаспpеделенными паpаметpами (параметр – температура)

Сосредоточенность или распределенность характеризуют объекты с точки зрения роли, которую играет в их модельном описании пространственная протяженность (на фоне скорости распространения физических процессов). Если пространственной протяженностью объекта можно пренебречь и считать, что независимой переменной является только время (протекающих в нем процессов), принято говорить об объекте с сосредоточенными параметрами. К числу таких объектов, которые описываются (в случае детерминированности и непрерывности) обыкновенными дифференциальными уравнениями, относится подавляющее большинство механизмов, машин и вообще локальных технических устройств (расстояния между компонентами практически не влияют на исследуемые свойства и характеристики). В пространственно- протяженных объектах адекватное описание требует учета не только времени, но и пространственных координат. В таком случае говорят о классе объектов с распределенными параметрами. Примеры: всевозможные «длинные линии» - проводная линия связи, описываемая так называемым телеграфным уравнением, длинные трубопроводы, технологические линии в непрерывном пространстве. Электромагнитное поле с его обобщенной математической моделью – уравнениями Максвелла – представляет собой классический пример трехмерного объекта с распределенными параметрами. Непрерывные и детерминированные объекты с распределенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных.

22. Как создается математическое описание изучаемого объекта, процесса?

Первая стадия моделирования заключается в построении модели изучаемого объекта/процесса. Понятно, что для проведения исследований с помощью модели, нужно иметь ее.

Процесс построения модели целесообразно разбить на подпроцессы. При математическом моделировании понятие процессимеет математический смысл, т.е. программу действий. Содержанием процесса построения математической модели является формализованное описание изучаемой системы и ее поведения с точки зрения исследователя.

Как создание любой системы, так и построение ее модели включает в себя ряд этапов. В соответствии с общей теорией систем построение модели начинают со словесного описания постановки задачи. Ясно, что многие аспекты создания модели вытекают из целей исследований. При этом необходимо понимать отличия модели от самой системы.

Во-первых, любое математическое описание представляет собой идеализацию изучаемого явления, объекта, процесса, т.е. упрощенное их представление. Стало быть, это есть грубое приближение к действительности. В то же время модель и не должнаотражать все свойства моделируемой системы. Она должна быть предназначена для решения конкретной задачи. Например, для определения характеристик надежности функционирования реальной системы. Если же модель будет полностью описывать систему, то она может оказаться попросту не пригодной для проведения исследований.

Самой простой формой описания системы является так называемая модель черного ящика.

Модель черного ящикаприменяют по ряду причин. В частности, тогда, когда отсутствуют сведения о внутреннем содержании исследуемой системы, известны только ее входы и выходы.

Чтобы проводить анализ интересующих исследователя факторов на поведение системы, необходимо сформировать множество входных и выходных сигналов.

В данном случае математическая модель может быть представлена следующим образом:

W = F(X, Y, Z).

Здесь:

· W – множество сигналов на выходе,

· X – множество контролируемых управляемых сигналов,

· Y – множество контролируемых неуправляемых сигналов,

· Z – множество неконтролируемых сигналов, представляющих собой некоторые возмущающие воздействия на систему.

В качестве сигналов на выходе часто принимают выбранные критерии функционирования системы. Такие критерии называют целевыми функциями.

Функциональная зависимость между входными и выходными параметрами, вообще говоря, не известна.

Как мы видим, при создании модели данного вида необходимо указать состав входных и выходных параметров, что является довольно сложной задачей. При определении искомого состава исходят из целей исследования и доступных сведений о системе.

Модель черного ящика используют при сравнительно простых исследованиях. Например, когда представляет интерес внутреннее устройство системы, строят модель структуры системы. Построение такой модели обычно начинают с рассмотрения ее состава. Состав модели в первую очередь определяется целями и задачами исследований. Вполне естественно, на состав модели существенное влияние оказывают имеющиеся исходные данные для решения стоящих перед исследователем задач.

Рассмотрим задачу определения характеристик надежности системы защиты информационной системы.

Современные системы защиты ИС предусматривают распределение механизмов защиты в отдельных подсистемах. Стало быть, чтобы получить искомые оценки интересующих нас параметров, нужно оценить степень защиты каждой подсистемы. Поскольку подсистемы в свою очередь состоят из отдельных подсистем, то спрашивается, какие из них являются наиболее слабыми звеньями с точки зрения их защиты. На первый взгляд следует дать оценку каждому отдельному элементу защиты. В таком случае модель системы защиты будет очень громоздкой и трудно реализуемой. Приемлема ли она для практической работы? По всей видимости, нет. Отсюда следует, что нужно найти некоторый компромисс между сложностью модели и качеством оценок, получаемых с ее помощью.

Состав модели зависит также от стадии жизненного цикла моделируемой системы: проектируемой или уже находящийся в эксплуатации. Пример.

Для проведения более или менее сложного анализа требуется наличие сведений не только о составе изучаемой системы, а и знать взаимосвязи между ее элементами. Модель, показывающую, в каком отношении находятся между собой отдельные элементы, называют моделью структуры. По своей сути последняя является развитием модели состава.

Элементы системы могут находиться в разных отношениях. Ясно, чтобы более или менее полно отразить реально существующие связи между элементами, необходимо знать эти связи. На практике далеко не всегда аналитику они известны. Здесь не лишне напомнить, что процесс построения модели, как правило, носит итерационный характер. Поскольку наличие той или иной связи может стать известно только при проведении исследований, то модель может быть дополнена этой связью.

Вопрос включения в модель полного набора реальных связей достаточно сложен. Аналитик должен отобрать из него наиболее существенные, т.е. те, которые оказывают наибольшее влияние на функционирование системы. Приведем некоторые примеры.

Структурная модель хотя и полнее отражает содержание системы ничего не говорит о ее динамике. Она характеризует только статическое состояние системы. В реальности не существует ни одного не изменяемого объекта. Стало быть, модели структуры системы явно не достаточно для анализа свойств последней. Поэтому наряду со структурной моделью строят и динамическую модель.

Динамическая модель отображает изменения, происходящие в системе. При построении динамической системы осуществляют полную формализацию процессов, происходящих в ней. С помощью какого-либо формализма аналитик описывает переход системы из одного состояния в другое. Если в модели черного ящика не задается функциональная зависимость между входными и выходными параметрами, то в динамической модели эта зависимость является ее центральным элементом. Именно она представляет собой математическую модель динамики системы.

Чтобы исследовать сложную систему, необходимо знать, как ее выходные параметры зависят от входных, т.е. причинно-следственные отношения между ними. Как правило, эти отношения представляются в виде уравнений. Пожалуй, самая трудная задача аналитика состоит в установлении указанных отношений.

При математическом описании динамики системы аналитик должен найти компромисс между его полнотой и упрощением. Чем детальнее мы опишем систему, тем точнее она будет отражена в модели. Спрашивается, до какой степени детальности мы должны представлять систему? Ясно, что чем подробнее математическая модель описывает исследуемый объект, тем больше она содержит математических операторов. Следовательно, вычислительный алгоритм может оказаться чрезмерно сложным, а значит, и его машинная реализация потребует неоправданно много времени дляя проведения исследований.

Еще одной проблемой является отсутствие достаточно точных сведений о самой функциональной зависимости параметров системы.

Из сказанного следует, что при построении модели системы аналитику предстоит нелегкая задача – найти разумную степень ее детализации.

Модели создают только для того, чтобы с их помощью проводить исследование какого-либо объекта или процесса. Понятно, что для построения модели необходимо наличие каких-то сведений о самой системе. Основными методами их получения являются анализ и синтез.