Двоично-десятичные числа

С целью удобства преобразования чистые двоичные числа представляются десятичными либо шестнадцатеричными. Однако двоично-десятичное преобразование — операция не простая. В калькуляторах, магистралях и числовых приборах, когда на доступных пользователю выходах и входах широко распространены десятичные числа, для их представления используют специальный двоично-десятичный код (ДДК). В табл. 2.9 приведено несколько десятичных чисел и соответствующих им двоично-десятичных эквивалентов (система 8421). Этим определяются веса позиций каждого из четырех бит ДДК (используют другие ДДК, например 5421 и плюс 3).

Таблица 2.9. Двоично-десятичный код 8421.

Запишем десятичное число 3691 в ДДК 8421. Каждая десятичная цифра преобразуется прямо в свой двоично-десятичный эквивалент из 4 бит, и преобразования дают 3691₁₀=0011 0110 1001 0001дд_К:

Десятичное число 3 6 9 1

Двоично-десятичное число 0011 0110 1001 0001

Преобразуем теперь двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010 в его десятичный эквивалент. Каждая группа из 4 бит прямо преобразуется в ее десятичный эквивалент, и тогда получаем 1000 0000 0111 0010ддк = =8072₁₀:

Двоично-десятичное число 1000 0000 0111 0010

Десятичное число 8 0 7 2

Микропроцессоры складывают чистые двоичные числа, но они обладают, однако, командами для преобразования результата своих сложений в двоично-десятичную запись. Полученные двоично-десятичные числа легко затем представить в десятичной записи, используя выше описанные простые процедуры.

Упражнения

2.24. Запись ДДК является сокращением _____________.

2.25. Наиболее общей записью двоично-десятичного кода является ДДК ________ (5421, 8421).

2.26. Записать следующие десятичные числа в ДДК 8421: а) 39; б) 65; в) 40; г) 17; д) 82; е) 99.

2.27. Записать следующие двоично-десятичные числа в десятичном коде: а) 10,00 0000; б) 0000 0001; в) 1001 0010; г) 0111 0110; д) 0100 0011; е) 0101 0101.

Решения

2.24. Двоично-десятичного кода. 2.25. 8421. 2.26. Следуя процедуре, приведенной в § 2.4, поручаем: а) 39₁₀=0011 1001_ддк; б) 65₁₀= 0110 0101_ддк; в) 40₁₀=0100 0000_ддк; г) 17₁₀=0001 0111_ддк; д) 82₁₀=1000 0010_ддк; е)|99₁₀₌1001 1001_ддк; 2.27. Следуя процедуре, приведенной в § 2.4, получаем: а) 10000000_ддк=80_10; б) 0000 00001_ддк=1₁₀; в) 1J001 0010_ддк=92₁₀; г) 0111 0110_ддк =76_10; д) 0100 0011_ддк=43₁₀; е) 6l01 0101_ддк=55₁₀.

Лекция 6

Двоичная арифметика

Сложение, вычитание или умножение двоичных чисел выполняются так же, как и в арифметике десятичных чисел. Большинство микропроцессоров владеет командами сложения и вычитания двоичных чисел, однако некоторые, менее многочисленные выполняют команды умножения и деления (например, микропроцессоры Intel 8086 и Intel 8088).

На рис. 2.4,а представлены простые правила двоичного сложения. Два первых (слева) правила очевидны, третье

Рис. 2.4. Двоичное сложение: а — правила; б — пример

показывает, что 1 + 1 = 10, т. е. Наиболее значимая 1 переносится в ближайший старший разряд. Четвертое правило, наконец, показывает, что 1 + 1 + 1 = 11. В этом случае первое, второе слагаемые и запоминаемое & результате сложения в младшем разряде число — все 1. Результатом - является сумма—1 с переносом 1.

Сложим двоичные числа 0011 1011 и 0010 1010 (операция показана на рис. 2.4,6). Для большей ясности действия с десятичными эквивалентами обрабатываемых чисел показаны на рисунке справа. Суммой двух чисел 0011 1011 и 0010 1010 будет 0110 0101₂.

На рис. 2.5, а приведены правила двоичного вычитания. Первые три аналогичны десятичному вычитанию. Последнее требует заема из более значимого предшествующего разряда (в этом случае вес 2). Уменьшаемым является двоичное число 10, вычитаемым 1, разностью— 1.

Вычтем двоичное число 0011 1001 из 0101 0101. Этот пример приведен на рис. 2.5,6. Разряды весов 1, 2 и 4 этого двоичного вычитания просты для выполнения и относятся к первым трём правилам на рис. 2.5, а. В колонке веса ^:8 имеет место вычитание 1 из 0. Тогда 1 занимается из колонки веса 16.

Рис. 2.5. Двоичное вычитание: а — правила; б — пример

Единиц вычитается из 10₂, что дает разность 1 согласно четвертому правилу на рис. 2.5,о. После этого заема в колонке веса 16 имеет место вычитание 1 из нового вычитаемого 0. Согласно четвертому правилу 1 должна быть занята из следующей, более значимой позиции (колонка веса 32), но в колонке 32 имеем 0; поэтому колонка 32 должна сделать заем из колонки веса 64, что и выполнено. Окончательно колонка 16 делает заем из колонки 32, уменьшаемым в коленке 16 становится 10₂, вычитаемым 1, разностью 1. В колонке 32 имеем 1—1=0, в колонке 64 —0—0=0, в колонке 28 — 0—0=0. Таким образом, рис. 2.5,6 иллюстрирует операцию вычитания 1001₂ из 0101 0101₂ (справа эта задача решена в десятичной записи).

Приведем правила десятичного умножения:

Множимые 0 1 0 1

X X X X

Множители 0 0 1 1

Произведения 0 0 0 1

Два первых правила не требуют никаких пояснений. В двух следующих множителем является 1: когда множителем является 1 при двоичном умножении, множимое становится результатом и представляет собой произведение. Когда множитель 0, произведение всегда 0.

Выполним умножение 1101 на 101. Как и в случае умножения десятичных чисел, множимое сначала умножается на число, стоящее в младшем разряде (в рассматриваемом случае — бит в колонке веса).

Множимое 1101 13

X X

Множитель 101 _____ 5_

1-е частичное произведение 1101 65₁₀

2-е частичное произведение 0000

3-е частичное произведение 1101

Конечное произведение 1000001₂

Поскольку бит множителя в разряде веса 1 является 1, множимое копируется и составляет первое частичное произведение. Вторым битом множителя является 0, тогда второе частичное произведение есть 0000 (заметим, что оно, сдвинуто на одну позицию влево). Битом разряда веса 4; множителя является 1, тогда для получения третьего частичного произведения снова следует копирование множимого (заметим, что копирование завершается новым сдвигом на одну позицию влево). После этого выполняем сложение трех частичных произведений что дает результат 1000001₂. Полученный результат 1101₂ 101₂=10000012 соответствует произведению десятичных чисел 13 ₁₀X5 ₁₀=65_10.

Упражнения

2.28. Выполнить следующее сложения двоичных чисел:

а) 1010 б) 1101 в) 1011011 г) 0011 1111
+ + + +

0101 0101 000 0 1111 0001 1111.

2.29. Выполнить следующие вычитания двоичных чисел:
а) 1110 6)1010 в). 100110 г) 0111 1000-

1000 0101 0001 1010 0110 1111.

2.30. Первое число при умножении называется -----, второе — множителем, а результат составляет.

2.31. Выполнить следующие умножения двоичных чисел:

а) 1001 б) 1101 в) 1111 г) 1110
х х х х

11 1001 101 1110.

Решения

2.28. См. рис. 2.4: а) 1111; б) 10010; в) 10010 1010; г) 0101 1110. 2.29. См. рис.. 2.5: а) 0110; 6)0101; в) 0100 1100; г) 0011 1001. 2.30.Множимое. Произведение. 2.31. Согласно §2.5: а) 11011; б) 111 0101; в) 100 1011; г) 1100 0100.

Лекция 7