Функции многих переменных

Определенный интеграл

1. Замена переменной в определенном интеграле.

2. Определенный интеграл Римана, его свойства. Достаточные условия интегрируемости.

3. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление длин, площадей, объемов).

4. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

5. Теоремы сравнения для несобственных интегралов 1-го (2-го) рода.

6. Сходимость интегралов , и

7. Интегралы, зависящие от параметра, и их свойства.

8. Интеграл Эйлера-Пуассона.

9. Гамма-функция и ее свойства.

10. Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.

Ряды

1. Сумма числового ряда. Необходимые условия сходимости.

2. Признаки сравнения для числовых рядов.

3. Признак Даламбера.

4. Интегральный признак Коши.

5. Теорема Лейбница.

6. Абсолютная сходимость числовых рядов. Теорема об абсолютной сходимости.

7. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов.

8. Степенные ряды. Лемма Абеля. Радиус сходимости.

9. Свойства степенных рядов.

10. Ряд Тейлора. Разложение функций , , , в ряд Тейлора.

Функции многих переменных

1. Классификация точек и множеств в n-мерном пространстве.

2. Теорема о сходимости последовательности в n-мерном пространстве.

3. Предел функции и его свойства.

4. Непрерывность функции, свойства непрерывных функций.

5. Частные производные и дифференциалы.

6. Полный дифференциал. Дифференцируемость функций многих переменных.

7. Дифференцирование сложных функций.

8. Производные и дифференциалы высших порядков.

9. Формула Тейлора.

10. Экстремум функций нескольких переменных. Необходимые условия.

11. Экстремум функций нескольких переменных. Достаточные условия (общий случай).

12. Экстремум функций нескольких переменных. Достаточные условия (случай двух переменных)

13. Условные экстремумы. Метод Лагранжа.

14. Производная по направлению. Градиент и его экстремальное свойство.

15. Дифференцирование неявно заданных функций.

16. Касательная плоскость и нормаль.