Бесконечно большая величина
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .
[править] Свойства бесконечно малых
· Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
· Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
· Если — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.
Сравнение бесконечно малых.
Определения
Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).
· Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .
· Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .
· Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.
Это обозначается как или (в силу симметричности данного отношения).
· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .
Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.
Примеры сравнения
· При величина имеет высший порядок малости относительно , так как . С другой стороны, имеет низший порядок малости относительно , так как .
С использованием О -символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде .
· то есть при функции и являются бесконечно малыми величинами одного порядка.
В данном случае справедливы записи и 
· При бесконечно малая величина имеет третий порядок малости относительно , поскольку , бесконечно малая — второй порядок, бесконечно малая — порядок 0,5.
Эквивалентные величины
Определение
Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ( ).
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.
При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):
· 
· 
· 
· 
· , где ;
· 
· , где ;
· 
· 
· , поэтому используют выражение:
, где .
Теорема
Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.
Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).
[править] Примеры использования
· Найти 
Заменяя эквивалентной величиной , получаем

· Найти 
Так как при получим

· Вычислить .
Используя формулу: , тогда как, используя калькулятор (более точные вычисления), получили: , таким образом ошибка составила 0,005 (менее 1 %), то есть метод полезен, благодаря своей простоте, при грубой оценке арифметических корней близких к единице.
Date: 2016-07-05; view: 288; Нарушение авторских прав Понравилась страница? Лайкни для друзей: |
|
|