Основные теоретические сведения.

Тема 1.

Уравнения Максвелла.

Основные теоретические сведения.

Классическая теория электромагнетизма базируется на уравнениях Максвелла, описывающих совокупность эмпирических сведений об электромагнитном поле. Для вакуума вводят два основных векторных объекта — напряженность электрического поля Е и напряженность магнитного поля Н. Кроме того, определяют скалярное поле объемной плотности электрического заряда р и векторное поле объемной плот ности электрического тока J_Э, связанного с движением носителей заряда в пространстве. Система уравнений Максвелла для вакуума относительно перечисленных величин записывается в виде

(1)

В эти уравнения входят две фундаментальные физические константы: = 10^-9/(36п) Ф/м — электрическая постоянная и |μ₀ = 4п*10^-7 Гн/м — магнитная постоянная.

К основным принципам электродинамики относится также закон сохранения электрического заряда, находящий свое отражение в уравнении непрерывности тока:

div J_Э + dρ /dt = 0. (2)

Первое уравнение системы (1) представляет собой дифференциальную форму записи известного закона Ампера, дополненную вектором плотности тока смещения:

. J_СМ=ε₀ dE/dt

Иногда бывает удобно выделять плотность стороннего электрического тока Jct. возникающего в пространстве под действием сил неэлектромагнитного происхождения. Сумму тока смещения, тока проводимости, а также стороннего тока в электродинамике называют полным током.

Второе уравнение системы (1) описывает закон электромагнитной индукции Фарадея. Два остальных уравнения, строго говоря, зависят от первых двух уравнений Максвелла. Из третьего уравнения системы (2.1) следует, что силовые линии электрического поля могут начинаться и оканчиваться только на электрических зарядах. Четвертое уравнение указывает на то, что в вакууме силовые линии магнитного поля всегда замкнуты (магнитное поле не имеет источников).

В присутствии материальных сред теория Максвелла должна быть дополнена рядом новых представлений, учитывающих микроскопическую структуру вещества. Под действием приложенного электрического поля Е в среде возникает ток проводимости с объемной плотностью

J_Э= σЕ. (3)

Здесь σ— удельная объемная проводимость вещества.

Соотношение (3) есть дифференциальная форма записи закона Ома; пропорциональность между J_Э и Е в сильных электрических полях может нарушаться.

Молекулы или атомы вещества в электрическом поле испытывают поляризацию, что отображается в теории введением векторного поля электрической поляризованности Р. Данный вектор в каждой точке характеризует дипольный момент единицы объема вещества. Если электромагнитное поле переменно во времени, то в среде возникает электрический ток поляризации с объемной плотностью

J _пол = dP/dt.

В каждой точке среды принято вводить вектор электрического смещения (индукции)

D = ε₀Е + Р. (4)

В результате первое уравнение Максвелла приобретает вид

rot Н = dD/dt + σЕ + J_CT._Э. (5)

Магнетизм материальных сред имеет квантовую природу. В рамках классических представлений определяют вектор намагниченности М, являющийся магнитным Моментом единицы объема вещества, и вектор магнитной индукции В, связанный с Н и М соотношением

В = |μ₀ (Н + М).

Второе уравнение Максвелла в материальной среде имеет вид

rot Е = — dВ/dt. (6)

Третье и четвертое уравнения Максвелла записываются так:

div D = р, (7)

div В = 0. (8)

В не слишком сильных полях как поляризованность, так и намагниченность линейно связаны с напряженностями полей:

(9)

Где χ_Э χ_М — диэлектрическая и магнитная восприимчивости вещества.

На основании этого материальные уравнения электромагнитного поля можно записать в форме

D = ε_аЕ, В = μ_А Н. (10)

Коэффициентами пропорциональности между напряженностями и индукциями являются абсолютная диэлектрическая проницаемость ε_а и абсолютная магнитная проницаемость μ_a. В расчетах часто используют относительные проницаемости

(11)

Соотношения вида (10) справедливы лишь при условии, что взаимодействие поля и вещества происходит практически безынерционно. На очень высоких частотах, в диапазоне СВЧ и оптическом диапазоне приходится учитывать эффекты, связанные с конечным временем установления состояния вещества. При этом можно говорить о диэлектрической и магнитной проницаемостях, зависящих от частоты.

Все сказанное ранее относилось к изотропным средам. Если вещество обладает анизотропией электродинамических свойств (различные кристаллы, а также плазма, находящаяся в магнитном поле),, то скалярные величины ε_а и μ_а следует заменить на тензоры второго ранга (ε_а) и (μ_а). Тогда материальные уравнения (10) можно записать в развернутом виде:

Таким образом, в общем случае пары векторов D и Е, В и Н непараллельны в пространстве.

(13)

Часто приходится рассматривать электромагнитные поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону с частотой ω. При этом уравнения Максвелла записывают относительно комплексных амплитуд полей:

(14)

В эти уравнения входят комплексные диэлектрическая ε_а и магнитная μ_A проницаемости:

(15)

Наличие мнимых частей проницаемости указывает на необратимое превращение части энергии электромагнитного поля в энергию теплового движения. Выделение тепла может происходить как за счет токов проводимости, так и за счет внутреннего трения, сопровождающего процессы поляризации и перемагничивания. Если потери в среде связаны только с наличием токов проводимости, то

, (16)

В технике различные вещества принято характеризовать с помощью тангенсов углов диэлектрических и магнитных потерь:

, (17)

На границе раздела двух материальных сред с различными электродинамическими параметрами векторы поля должны удовлетворять определенным граничным условиям. Каждый из векторов (например, Е) в точке границы принято разлагать на нормальную и тангенциальную (касательную) составляющие:

Е = Е_nl_n+E_τl_τ

(l_n и l_τ — орты нормального и тангенциального направлений соответственно).

Нормальные составляющие индукций и тангенциальные составляющие напряженностей непрерывны в каждой точке границы раздела:

D_1n ⁼ D_2n, E_1τ=E_2τ (18)

B_1n⁼ В_2n, H₁τ= H_2τ

Если одной из сред является идеально проводящий металл, для которого σ→∞ то на его поверхности тангенциальная составляющая электрического вектора отсутствует:

Е_τ = 0. (19)

На поверхности металла имеется электрический ток g поверхностной плотностью

η = [1_nH] (20)

Электромагнитное поле является носителем энергии. Объемная плотность энергии в любой точке пространства

w = 1/2(ED + НВ). (21)

Закон сохранения энергии находит свое отражение в теореме Пойнтинга:

(22)

Вектор Пойнтинга

П = [ЕН] (23)

характеризует плотность потока мощности излучения.

Для полей, изменяющихся во времени по гармоническому закону, принято вводить комплексный вектор Пойнтинга

(24)

Действительная часть этого вектора

(25)

равна среднему за период потоку мощности излучения.