Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Лекция 5. ОпределителиОсновные понятия, определения, обозначения Матрицы. Определение. Прямоугольная таблица m·n чисел, расположенных в m строках и n столбцах называется прямоугольной (m,n) матрицей или просто матрицей. Числа m и n называются порядками или размерностями матрицы. Если m=n, то матрица называется квадратной матрицей порядка m. Примеры: — квадратная матрица порядка 2, — прямоугольная матрица, —матрица-столбец, — матрица-строка. Для обозначения матрицы используют круглые скобки (), квадратные скобки [ ] или две вертикальные черты . Чаще используют круглые скобки. Будем обозначать матрицы заглавными буквами, элементы матриц — той же строчной буквой с двумя нижними индексами (первый индекс — номер строки, второй — номер столбца), столбцы матрицы — той же заглавной буквой с верхним индексом (номер столбца), а строки — заглавной буквой с нижним индексом (номер строки). В сокращенной записи будем заключать элементы матрицы в фигурные скобки, указывая внизу порядки матрицы. Таким образом, обозначаем: A — матрица, — элемент матрицы A, расположенный в i -й строке, j -м столбце, — j -й столбец матрицы A, — i -я строка матрицы A — j -й столбец матрицы A, — 1-й столбец матрицы A, — i -я строка матрицы A, — 1-я строка матрицы A. Пример. , , , . Транспонирование матрицы Для прямоугольных матриц определена операция транспонирования. Определение. Рассмотрим произвольную прямоугольную матрицу A. Матрица, получающаяся из матрицы A заменой строк столбцами, называется транспонированной по отношению к матрицеA и обозначается AT: Определители Для каждой квадратной матрицы определено число, называемое определителем матрицы, детерминантом матрицы или просто определителем (детерминантом). Определение. Определителем квадратной матрицы первого порядка называется число, равное единственному элементу этой матрицы: A= { a }, detA=|A|=a. Пусть A — произвольная квадратная матрица порядка n, n> 1:
Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n>1, называется число, равное
где — определитель квадратной матрицы, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j-го столбца. Для определителей2 - го и3-гопорядка легко получить простые выражения через элементы матрицы. Определитель 2-го порядка: . Определитель 3-го порядка: Введем полезные в дальнейшем определения — минор элемента матрицы, алгебраическое дополнение элемента матрицы. В этих новых терминах определение определителя n -го (n > 1) порядка звучит иначе. Определение Определителем n-го порядка (определителем квадратной матрицы n-го порядка n), n >1, называется число, равное сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения:
Справедливо следующее утверждение, которое мы не будем доказывать. Теорема о вычислении определителя разложением по любой строке (столбцу). Определитель n-го порядка, n >1, равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Пример.Вычислим определитель разложением по второй строке:
Следствие. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. (Доказать самостоятельно). Свойства определителей Для определителей справедливы следующие утверждения — свойства определителей. 1. Определитель не изменяется при транспонировании: det A T = det A. 2. При перестановке любых двух строк, определитель меняет знак. 3. Если в определителе есть две одинаковые строки, то он равен нулю. 4. Если все элементы строки определителя умножить на отличное от нуля число, то определитель умножается на это число: . 5. Если в определителе есть две пропорциональные строки, то он равен нулю. 6. Определитель, содержащий нулевую строку, равен нулю. 7. Если квадратные матрицы A, B и С отличаются только i- й строкой и при этом i- я строка а матрицы С равна сумме соответственных элементов i- х строк матриц A и B, то det C= det A + det B:
8. Определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить элементы любой другой строки, умноженные на одно и то же число. 9. Сумма произведений элементов любой строки на алгебраические дополнения другой строки равна нулю: . Поскольку определитель не меняется при транспонировании — утверждения 2—9 справедливы и для столбцов. Перечисленные свойства позволяют упростить вычисление определителя. Пример. поскольку 1-я и 3-я строки пропорциональны. Пример. Пример.
|