Примеры решения задач

1). Задача на определение ускорения.

Уравнение движения тела имеет вид х = 15t + 0,4 t² м. Найти ускорение движения тела.

Решение.

Воспользуемся определением ускорения

По условию задачи движение является прямолинейным вдоль оси х, поэтому для определения ускорения необходимо взять дважды производную от функции

х = 15t + 0,4 t² по времени.

,

.

Ответ:

2). Задача на равноускоренное движение.

При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду?

Дано:

S₅ = 90 см

х₅ – перемещение тела за 5 секунд, причем, согласно уравнению равноускоренного движения,

,

где t₄ = 4 c, t₅ = 5 c. Следовательно, перемещение тела за пятую секунду равно

откуда

(1)

Аналогично, перемещение тела за седьмую секунду равно

где х_6, х₇ – перемещение тела за 6 и 7 секунд соответственно, а t₆ = 6 c, t₇ = 7 c.

С учетом уравнения (1) получим расчетную формулу:

.

Проведем проверку размерности:

.

Теперь можно провести вычисления:

Ответ:

3). Задача на движение тела в поле тяжести Земли, брошенного под углом к горизонту.

Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 30⁰ к горизонту. Найти высоту его наибольшего подъема.

Запишем краткое условие задачи.

V₀ = 10 м/с

α = 30⁰

y = ·t - ,где . В точке наивысшего подъема вертикальная составляющая скорости равна 0, т.е. V_y = - g·t = 0. Из этого условия определим время подъема мяча:

t = .

Тогда высота наибольшего подъема

.

Проведем проверку размерности:

.

Вычислим высоту наибольшего подъема:

.

Ответ:1,25м.

4). Задача на движение связанных тел.

Невесомый блок укреплен на конце стола. Гири одинаковой массы m₁ = m₂ = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири о стол μ = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь.

Дано: Решение.

m₁ = m₂ = 1 кг Выполним рисунок, на котором μ = 0,1 укажем все силы, действующие Найти: а на тела, и направление ускорения

Запишем уравнения II закона Ньютона для 1 и 2 тела в векторной форме, объединив уравнения в систему:

Выберем систему координат XOY и запишем уравнения (1) и (2) в проекции на оси OX и OY.

OX: T – F_тр = m₂a (3)

OY: N – m₂g = 0 (4)

T – m₁g = − m₁a (5)

Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления:

F_тр = μN.

Из уравнения (4) N = m₂g, тогда преобразуем уравнение (3):

T – μm₂g = m₂a

Учтем, что m₁ = m₂ = m, и получим

Решая эту систему, получим выражение для ускорения:

−μmg + mg = ma + ma

mg(1 – μ) = 2ma

(8)

Вычислим ускорение:

Выразим силу натяжения нити из уравнения (6):

и вычислим ее

.

Вывод размерности: ;

.

Ответ: а = 4,41 м/с²; Т = 5,39 Н.

5). Задача на движение связанных тел.

К одному концу нити, перекинутой через блок, подвешивают груз массой 500 г, к другому груз массой 300 г. Найти ускорение системы и, перемещение каждого груза через 1,2 с после начала движения. Трение не учитывать, массами блока и нити пренебречь.

Дано:

m₁ = 500 г

m₂ = 300 г

t =1,2с

Составим уравнения движения для каждого груза в отдельности. Учтем, что нить нерастяжима, поэтому | |=| | = a. Введем ось Y, направленную вертикально вверх. Запишем по II закону Ньютона уравнение движения 1-го тела

и спроецируем его на ось Y:

-m₁a =- m₁g +T₁.

Составим уравнение движения для 2-го тела

и его проекцию на ось Y:

m₂a = - m₂g +T₂.

Так как блок невесомый | | = | | =T.

Тогда решим полученную систему двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными:

Вычтем из второго уравнения первое:

.

Отсюда найдем а:

.

Для нахождения перемещения грузов (оно одинаково для обоих грузов) воспользуемся формулой для равноускоренного движения с нулевой начальной скоростью:

S = .

Проведем проверку размерности:

,

.

Перейдем к вычислениям:

,

.

Ответ: 2,45 ; 1,76 м.

6). Задача на динамику криволинейного движения.

Определить скорость движения автомобиля массой 2 т по вогнутому мосту радиусом 100 м, если он давит на середину моста с силой 2,5·10⁴ Н.

Дано:

m=2 т

R =100 м

P = 2,5·10⁴Н

ускорение, направленное в сторону вогнутости моста. Составим уравнение движения автомобиля

Спроецируем это уравнение на ось OY:

ma=N-mg

и учтем, что центростремительное ускорение связано со скоростью движения автомобиля формулой:

,

а сила нормальной реакции со стороны моста по III закону Ньютона равна по модулю силе давления автомобиля на мост, т.е.

N = P

Получим формулу:

.

Откуда:

.

Проведем проверку размерности:

,

Перейдем к вычислениям:

Ответ: 16,4 .

7). Задача на закон сохранения импульса.

Какую скорость получит неподвижная лодка, имеющая вместе с грузом массу 200 кг, если находящийся в ней пассажир выстрелит в горизонтальном направлении? Масса пули 10 г, ее скорость 800 м/с.

m _л = 200 кг

V _л0 =0 м/с

m _п = 10г

V _п = 800м/с

силы, импульс системы не изменяется, т.е. Р ₀ =Р _к =0. Конечный импульс системы складывается из импульса пули и импульса лодки после выстрела:

=0.

Введем ось ОХ, направленную вдоль движения пули и составим проекцию полученного векторного уравнения на эту ось:

Р _п -Р _лк =0.

Отсюда Р _лк = Р _п = m _п ·V _п.

Так как Р _лк = m _л · V _лк,найдем скорость лодки после выстрела

.

Проверка размерности в данной задаче очевидна.

Перейдем к вычислениям:

Ответ: .

8). Задача на закон изменения энергии.

Камень, скользящий по горизонтальной поверхности льда, останавливается, пройдя расстояние 48 м. Определить начальную скорость камня, если известно, что коэффициент трения равен 0,06.

Запишем краткое условие задачи.

S = 48 м

f = 0,06

кинетическая энергия камня равна .

Конечная кинетическая энергия камня равна 0. Изменение кинетической энергии равно работе силы трения. Таким образом:

,

Сила трения по закону Кулона равна

F _тр = f·N,

где N = mg – сила нормальной реакции поверхности льда. Следовательно

.

Отсюда найдем начальную скорость:

.

Проверка размерности:

.

Проведем вычисления:

Ответ: .

9) Задача на вращательное движение.

Диск массой m = 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью v = 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска.

поступательного и вращательного движения:

W_к=W_пост + W_вращ (1)

При поступательном движении кинетическая энергия тела . (2)

При вращательном движении , (3)

где (4) – момент инерции диска,

(5) – угловая скорость вращения.

Подставим выражения (4) и (5) в (3), получим

(6).

Подставив формулы (6) и (2) в (1), окончательно получим:

.

Вычислим искомую величину:

.

Вывод размерности:

.

Ответ: W_к = 24 Дж.

10). Задача на колебания.

Точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,4 sinπt (м). Определить скорость и ускорение точки через 1/6 c от начала колебаний.

Запишем уравнение гармонических колебаний в общем виде:

x = A sin ωt, (1)

где x – смещение точки;

А – амплитуда; ω – круговая частота; t – время.

По определению, скорость равна производной от смещения по времени:

. (2)

Подставив (1) в (2), продифференцируем полученное выражение:

. (3)

По определению, ускорение равно производной от скорости по времени:

. (4)

Подставив (3) в (4), продифференцируем полученное выражение:

(5)

Из сравнения уравнения x = 0,1 sin πt и формулы (1) видно, что А = 0,1 м, ω = π с^-1. По формулам (3) и (5) вычислим скорость и ускорение:

v = 0,1π cos πt, a = 0,1π² sin πt. (6)

Проверим формулы (6), подставив единицы измерения:

[v] = м∙с^-1 = м/с, [a] = м∙(с^-1)² = м/с².

Вычислим искомые скорость и ускорение точки:

v = 0,4∙3,14 cos(π/6) = 1,091 м/с,

а = − 0,4∙3,14² sin (π/6) = −1,971 м/c².

Ответ: v = 1,088 м/с, а = −1,971 м/c².

11). Задача на явления переноса.

Определить, при каком градиенте плотности углекислого газа через каждый квадратный метр поверхности почвы продиффундирует в атмосферу в течение 1 ч масса газа m = 720 мг, если коэффициент диффузии D = 0,04 см²/с.

Найти: -?

Решение: Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом Фика: (1)

где D – коэффициент диффузии; – градиент плотности, т.е. изменение плотности, приходящееся на 1 м толщины слоя почвы; t – длительность диффузии.

Из (1) выразим искомый градиент плотности:

(2)

Проверим формулу (2), подставив единицы измерения

Вычислим градиент плотности:

Отрицательное значение градиента плотности соответствует тому, что диффузия происходит в направлении убывания плотности вещества.

Ответ: = − 0,05 кг/м⁴.

12). Задача на I начало термодинамики.

Водород массой m = 200 г расширяется изобарически под давлением p = 3∙10⁵ Па, поглощая в процессе расширения теплоту Q = 20 кДж. Определить работу расширения газа.

Работа, совершаемая газом при неизменном давлении, выражается формулой

А = p(V₂-V₁) (1) Из уравнения Менделеева-Клапейрона, записанного

для начального и конечного состояний газа (рV₁=mRT₁/μ, pV₂=mRT₂/μ) выразим неизвестные начальный V₁ и конечный V₂ объемы

V₁= mRT₁/(pμ); (2)

V₂= mRT₂/(pμ). (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим

(4)

где μ – молярная масса водорода, R = 8,31 Дж/(К∙моль) – молярная газовая постоянная; Т₁ и Т₂ – начальная и конечная температуры газа.

Из формулы для теплоты при изобарическом процессе

Q = mc_p(T₂ − T₁),

где с_р – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, выразим неизвестную разность температур:

Т₂ − Т₁ = Q/(mc_p). (5)

Известно, что

с_р = (i + 2) R/(2μ), (6)

где i – число степеней свободы молекулы газа. Подставив (6) в (5), а затем результат в (4), получим

(7)

Вывод размерности: из формулы (7) имеем

Ответ: А = 5,71∙10³ Дж.

13). Задача на применение I закона термодинамики.

Воздух массой 100г, температура которого 27⁰С, нагревается при постоянном давлении и его объем увеличивается в 2 раза. Найти количество теплоты, которое пошло на нагревание воздуха, работу газа при расширении, приращение внутренней энергии.

Запишем краткое условие задачи.

Решение: Количество теплоты сообщенное воздуху: ,

Дано: СИ

m=100г =0,1кг

t₁=27⁰C T₁=300К

V₂=2V₁

Q, A, ΔU-?

где с_p=10³Дж/(кг·К)- удельная теплоемкость воздуха при постоянном давлении (из справочной таблицы). По закону Гей – Люссака , отсюда . Работа газа при изобарическом процессе равна: . Приращение внутренней энергии по I закону термодинамики: .

Проведем проверку размерности:

.

.

Молярная масса воздуха: M=29·10^-3кг/моль.

Произведем вычисления:

, ,

Ответ: 30 кДж, 8,6кДж, 21,4кДж.

14). Задача на КПД тепловой машины.

Температура нагревателя и холодильника идеальной тепловой машины соответственно равны 117⁰С и 27⁰С. Количество теплоты, получаемое от нагревателя за 1 с, равно 60 кДж. Найдите КПД машины, количество теплоты, отдаваемое холодильнику в 1с, и мощность машины.

Запишем краткое условие задачи

Решение: КПД тепловой машины: .КПД идеальной тепловой

Дано: СИ

t₁=117⁰С T₁=390K

t₂=27⁰С T₂=300K

Q₁=60кДж =60·10³Дж

t=1c

Q₂? N-?

машины . Приравниваем правые части: .

Мощность тепловой машины .

Произведем вычисления: ,

Ответ: 46 кДж, 14 кВт.