Задача 3. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость

Решение.

а) Это несобственный интеграл 1-го рода – по бесконечному промежутку интегрирования. По определению имеем:

б) Это несобственный интеграл 2-го рода – от неограниченной функции. Точка является особой для функции так как при По определению имеем:

Предел не конечен, интеграл расходится.

При решении задач на приложения определённого интеграла нужно знать формулы для вычисления площадей, длин и объёмов.

Задача 4. Вычислить длину кардиоиды

Решение.

Кривая задана в полярной системе координат. Область определения функции: Функция чётная, следовательно её график симметричен относительно полярной оси. Значит, длина вычисляется по формуле:

Ответ. К решению желателен рисунок.

Задача 5. Вычислить приближенное значение определённого интеграла по формуле Симпсона, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей. Вычисления производить с округлением до третьего десятичного знака.