Перетворення подібності в просторі

Рух у просторі

Рухом у просторі називається перетворення, при якому зберігаються відстані між точками. Доведемо загальні властивості рухів.

Теорема 1. Точки, які лежать на прямій, під час руху переходять у точки, які лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розміщення.

Теорема 2. Рух відображає трикутник на трикутник, що дорівнює даному.

Теорема 3. Рух відображає площину на площину

Перетворення подібності в просторі

Перетворення фігури F в фігуру F₁ називається перетворенням подібності, якщо будь-які довільні точки Х і Y фігури F переходять у точки X₁, і Y₁ фігури F₁ такі, що Х₁Y₁ = k XY.

Перетворення подібності в просторі, як і на площині, переводить прямі у прямі, півпрямі у півпрямі, відрізки у відрізки і зберігає кути між півпрямими.

Дві фігури в просторі називаються подібними, якщо вони переводяться одна в одну перетворенням подібності.

Найпростішим перетворенням подібності в просторі є гомотетія.

Гомотетія відносно центра О з коефіцієнтом k — це перетворення, яке переводить довільну точку Х у точку X₁ променя ОХ таку, що ОХ₁ = k OX. (рис.4).

теорема:

Перетворення гомотетії у просторі переводить довільну площину, яка не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину (або в себе, коли k = 1).

Розв'яжіть задачи:

1. Що являє собою фігура, подібна до куба з коефіцієнтом подібності:

а) k = 2; б) k = ; в) k = 1?

2. Побудуйте фігуру, гомотетичну даному тетраедру ABCD відносно точки S (рис.5) з коефіцієнтом гомотетії: а) k = 2; б) k = ; в) k = 1.