Задание 5. Решить неравенство

__1____ + __1____ + __1____ < 1
(х-3)(х-4) (х-3)(х-5) х²-9х+20
Решение: Для решения данного неравенства надо сделать следующие действия:
1. Перенести 1 в левую часть неравенства.
2. Знаменатель третьей дроби разложить на множители по теореме Виета
(подсказка — корни уравнения будут кратны корням в первой и второй дроби). (х-4)(х-5)
3. Поскольку в знаменателе находится переменная,
необходимо написать ОДЗ — область допустимых значений —
те значения х, при которых дробь не имеет смысла.
х≠3; х≠4; х≠5
4. Сложить четыре дроби с разными знаменателями
(поскольку целое число можно представить в виде дроби со знаменателем 1), домножив числители.
Получаем: (х-5) +(х-4) + (х-3) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3х-12 — (х-3)(х-4)(х-5) < 0
3(х-4) — (х-3)(х-4)(х-5) < 0 Выносим общий множитель (х-4) за скобку
(х-4) • 〈3 — (х-3)(х-5)〉 < 0
(х-4) • 〈3 — (х² — 8х + 15)〉 < 0
(х-4) • (3 — х² + 8х — 15) < 0
Коэффициент при х² отрицательный.
Меняем его на противоположный, умножая вторую скобку на (-1).
При этом изменится знак неравенства на противоположный.
(х — 4)•(х² — 8х + 12) > 0
(х — 4)•(х — 6)•(х — 2) > 0
Теперь мы можем решить неравенство методом интервалов.
Отмечаем на числовой оси все корни, которые мы нашли в числители и все корни ОДЗ из знаменателя.

+ + + +

______ 2________3 _________ 4_________ 5_________ 6___________
— -
В записи, где коэффициент при х всегда положительный метод интервалов гласит —
правее правого корня знак неравенства ВСЕГДА +!
При переходе через корень знак неравенства меняется на противоположный, т.е. надо проходить через корни в виде змейки.
В случае, если корень имеет чётную кратность
(например х в квадрате, в четвёртой степени, в шестой степени и т.д.),
как в нашем примере с х=4,
знак неравенства на противоположный не меняется.
Отсюда
Ответ: (-∞, 2)∪(3,4)∪(4,5)∪(6,+∞).

Задание 6. Найти значение выражения при m = 1 — √3.

__m___ __ _____m+2____
m² – 2m + 1 m² + m — 2

Решение: Подставлять напрямую числовые значения m довольно неразумно,
т.к. получатся очень большие числа, да ещё и с корнями.
Лучше сделать разложение знаменателей и сокращение:
___m___ __ ____m+2___
(m-1)(m-1) (m-1)(m+2)
На m+2 сократить можно, т.к. это выражение не равняется нулю.
После сокращения получим две дроби, вычтем из одной другую.
___m__ _ __ 1__ = __m — (m-1)___ = ___1___
(m-1)(m-1) m-1 (m-1)(m-1) (m-1)(m-1)
Теперь подставляем значение m
______1_________ = ___1___ = _1_
(1-√3 — 1)(1-√3 — 1) (-√3)(-√3) 3

Ответ: 1/3.