Методика решения нормальных уравнений

Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации (2) предполагает решение системы нормальных уравнений (3). При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Систему n линейных уравнений общего вида:

(4)

(4) можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде: А·Х=В,

; ; (5)

квадратная матрица А называется матрицей системы, а вектора Х и В соответственно вектором-столбцом неизвестных систем и вектором-столбцом ее свободных членов.

В матричном виде исходную систему n линейных уравнений можно записать и так:

(6)

Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (х_i), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.

Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. Практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.

Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.

3. Ручной счёт.

Исходная функциональная зависимость представлена таблично, парами значения и _..

Найти параметры аппроксимирующей функции , пользуясь методом наименьших квадратов. Поиск параметром осуществить, используя методом Гаусса. Оценить погрешность аппроксимации посредством критерия качества и максимального по модулю отклонения аппроксимирующей функции от исходной.

Номер варианта	n	Значение и	Базисные функции	Метод решения СЛАУ
		X	2,0 3,0 4,0 5,0 6,0		ln(	x	Гаусса
	Y	2,41 2,85 3,91 -5,2 -9,8

1. Выражение для аппроксимации функции будет иметь следующий вид:

2. Запишем выражение для критерия аппроксимации

3. В соответствии с условиями локального минимума функции найдём частные производные , , и приравняем их к нулю:

Таким образом, получим три уравнения

4. Приведём полученную систему уравнений к нормальному виду, перенеся свободные члены вправо и поделив обе части уравнения на 2.

5. Для удобства представим промежуточные результаты вычислений в таблице

	2,0	2,41	0,643	0,413		1,386
	3,0	2,85	1,098	1,206		3,294
	4,0	3,91	1,386	1,830		5,544
	5,0	-5,2	1,609	2,588		8,045
	6,0	-9,8	1,791	3,207		10,746
Сумма		-5,83	6,527	9,244		29,015

Используя значение из таблицы, запишем систему уравнений в окончательном виде

Введя обозначения

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

данную систему уравнений можно записать можно в матричном виде:

6. Полученную систему уравнений решим тем способом, который указан в задании.

1. Метод Гаусса

Множитель, на который необходимо умножать второе уравнение будет , а множитель, на который необходимо умножат третье уравнение

Если из первого уравнения вычесть второе, умноженное на и третье умноженное на , то получим систему

Множитель, на который необходимо умножать третье уравнение будет .279

Если из второго уравнения вычесть третье, умноженное на , то получим систему:

Решение данной системы имеет вид:

7. В результате решения исходной системы линейных уравнений и нахождения значений получаем запись искомой аппроксимирующей функции в следующем виде

8. Оценка погрешности аппроксимации.

Рассчитаем значение аппроксимирующей функции в заданных точках и соответствующее отклонение .

В соответствии с таблицей построим график исходной и аппроксимационной функции.

	2,0	2,41	2,133	0,277
	3,0	2,85	4,191	1,341
	4,0	3,91	1,609	2,301
	5,0	-5,2	-3,516	1,684
	6,0	-9,8	-10,248	0,448

Вычислим значение критерия аппроксимации:

Максимальное по модулю отклонение при

4. Текст программы и результат расчётов параметров на ЭВМ.

Схемы алгоритмов

Схема алгоритма основной программы:

i=0; i<n; i++

i=0; i<n; i++

i i

j

i

koeff -схема алгоритма функции расчёта коэффициентов

i=0; i<m; i++

j=0; j<m; j++

I=0; I<n; I++

I

j

I=0; I<n; I++

I

i

vivodres - Схема алгоритма функции расчёта F[i], D[i]

i=0; i<n; i++

i

approk- cхема алгоритма функции расчёта и вывода Kr

i=0; i<n; i++

i

otkl - подпрограммы поиска и вывода максимального отклонения по модулю

i=0; i<n; i++

Да

i

metodgaussa- главная функция метода

i=0; i<m-1; i++ j

k=0; k<m; k++

j=i+1; j<m; j++

j

k

i

i=m-1;i>=0;i--

j=i+1;j<m;j++

fi - схема алгоритма функции выбора функций

4.2. Текст программы и результат расчётов параметров на ЭВМ

#include <stdio.h>

#include <conio.h>

#include <math.h>

#include <cmath>

#define n 5

#define m 3

void koeff(float A[m][m], float B[m], float x[n], float y[n]);

float fi(float x, int k);

void metodgaussa(float A[m][m], float B[m], float C[m]);

void otkl(float G[n], float X[n]);

void approk(float G[n]);

void res(float X[n], float Y[n], float C[m], float G[n]);

int main()

{

int i, k, j;

float A[m][m], B[m], C[m], D[n], x[n], y[n];

printf("Vvedite X:\n");

for (i = 0; i<n; i++)

{

scanf_s("%f", &x[i]);

}

printf("Vvedite Y:\n");

for (i = 0; i<n; i++)

{

scanf_s("%f", &y[i]);

}

koeff(A, B, x, y);

printf("matrica A: ");

for (i = 0; i<m; i++)

{

printf("\n");

for (j = 0; j<m; j++)

printf("%9.4f ", A[i][j]);

}

printf("\nVektor B:\n");

for (i = 0; i<m; i++)

{

printf("%5.4f ", B[i]);

}

metodgaussa(A, B, C);

printf("\n");

printf("\nKoefficienti C1=%5.4f, C2=%5.4f, C3=%5.4f", C[0], C[1], C[2]);

printf("\n");

printf("\nF=%4.4f+%4.4f(x)+%4.4f(x*x)", C[0], C[1], C[2]);

printf("\n");

res(x, y, C, D);

printf("\n");

approk(D);

printf("\n");

otkl(D, x);

_getch();

}

float fi(float x, int k)

{

if (k == 0)

return (1);

else

if (k == 1)

return (log(x));

else

if (k == 2)

return (x);

}

void koeff(float A[m][m], float B[m], float x[n], float y[n])

{

int i, j, l;

float S;

for (i = 0; i<m; i++)

{

for (j = 0; j<m; j++)

{

S = 0;

for (l = 0; l<n; l++)

S = S + fi(x[l], i)*fi(x[l], j);

A[i][j] = S;

}

S = 0;

for (l = 0; l<n; l++)

S = S + y[l] * fi(x[l], i);

B[i] = S;

}

}

void res(float X[n], float Y[n], float C[m], float D[n])

{

int i;

float F[n];

printf("\nRezultati vichislenii:\n");

printf("i X[i] Y[i] F[i] D[i]\n");

for (i = 0; i<n; i++)

{

F[i] = C[0] + C[1] * (log(X[i])) + C[2] * (X[i]);

D[i] = Y[i] - F[i];

printf("%i %5.4f %5.4f %6.4f %6.4f\n", i + 1, X[i], Y[i], F[i], D[i]);

}

}

void approk(float D[n])

{

int i;

float Kr;

Kr = 0;

for (i = 0; i<n; i++)

Kr = Kr + D[i] * D[i];

printf("\nMin. znachenie kachestva approksimacii:");

printf("Kr=%7.6f ", Kr);

}

void otkl(float D[n], float X[n])

{

int i, max;

float g;

g = fabs(D[0]);

max = 0;

for (i = 1; i<n; i++)

if (fabs(D[i])>g)

{

g = fabs(D[i]);

max = i;

}

printf("\n\nMax. po modulu otklonenie:\n");

printf("max|g[i]|=%5.4f pri x=x[%d]=%5.4f\n", g, max + 1, X[max]);

}

void metodgaussa(float A[m][m], float B[m], float C[m])

{

int i, k, j;

float sum;

for (i = 0; i<m - 1; i++)

{

for (k = i + 1; k<m; k++)

{

C[i] = A[k][i] / A[i][i];

A[k][i] = 0;

for (j = i + 1; j<m; j++)

A[k][j] = A[k][j] - C[i] * A[i][j];

B[k] = B[k] - C[i] * B[i];

}

}

for (i = m - 1; i >= 0; i--)

{

sum = 0;

for (j = i + 1; j<m; j++)

sum = sum + A[i][j] * C[j];

C[i] = (B[i] - sum) / (A[i][i]);

}

}

Скриншот работы программы:

Заключение

В результате проделанной работы был описан критерий аппроксимации, способ его минимизации, составлена система нормальных уравнений, параметры которой вычислили при помощи метода Гаусса, рассчитаны отклонения аппроксимирующей функции, а также максимальное по модулю отклонение. Расчёты составлены двумя способами:

-подсчитанные вручную

-подсчитанные на ЭВМ, при помощи составленной программы