Тема 2. Актуарные расчеты

Актуарные (от лат. actuarius – писец, счетовод) расчеты – процесс, в ходе которого определяются

расходы на страхование объекта и исчисляются страховые тарифы.

Основы теории актуарных расчетов были заложены в 17 веке работами таких ученых как Д. Гра-

унт, Я. де Витт, Э. Галлей. В настоящее время в теории актуарных расчетов применяются достижения

математики и статистики, компьютерной технологии.

Актуарные расчеты позволяют:

- исчислять математическую вероятность наступления страхового случая, определять частоту и

степень тяжести последствий причинения ущерба;

- исследовать и группировать риски в рамках страховой совокупности;

- математически обосновывать величину расходов на ведение дела страховщиком, резервных фон-

дов страховщика, конкретных методов и источников их формирования.

Актуарные расчеты базируются на данных страховой статистики. К основным показателям стра-

ховой статистики относятся:

- число объектов страхования – n;

- число страховых событий – е;

- число пострадавших объектов в результате страховых событий – m;

- сумма собранных страховых платежей – Σ р;

- сумма выплаченного страхового возмещения – Σ Q;

- страховая сумма для любого объекта страхования – Σ Sn;

- страховая сумма, приходящаяся на поврежденный объект страховой совокупности – Σ Sm.

По основным показателям определяются расчетные показатели страховой статистики:

- частота страховых событий

n

Чс  e;

- опустошительность страхового события (коэффициент кумуляции риска)

e

Кк  m;

- коэффициент убыточности (ущербности)

Sm

Ку Q





;

- средняя страховая сумма на один объект (договор)

n

Сос Sn



;

- средняя страховая сумма на один пострадавший объект

m

Спо Sm



;

- тяжесть риска

Sn m

Sm n

n

Sn

m

Sm

Tp

 

 







;

- убыточность страховой суммы (вероятность ущерба)

Sn

Ус Q





;

- норма убыточности

p

Ну Q





;

- тяжесть ущерба

ССср

СВср

Sn m

Q n

Sn m

Sm n

Sm

Кту Ку Тр Q 

 

 



 

 







  ,

где СВср – среднее страховое возмещение; ССср – средняя страховая сумма.

С помощью данных показателей определяются страховые тарифы (тарифные ставки). По своей су-

ти тарифная ставки – это плата страхователя страховщику, взимаемая с единицы страховой суммы (со

100 руб.) или объекта страхования. С помощью тарифной ставки исчисляется страховой взнос. Тарифная

ставка, лежащая в основе страхового взноса, называется брутто-ставкой. Брутто-ставка состоит из нетто-

ставки, которая является ценой страхового риска и идет на выплату страхового возмещения, и нагрузки,

включающей расходы на предупредительные мероприятия, на процесс страхования и планируемую

прибыль страховщика. Поскольку страховой взнос есть усредненный размер конкретных страховых пла-

тежей, то возможны в действительности значительные отклонения от средних значений. Для компенса-

ции подобных отклонений к отдельным рисковым страховым взносам добавляется рисковая надбавка, и

тогда брутто ставка равна сумме нетто-ставки, рисковой надбавки и нагрузки.

Расчет тарифных ставок по рисковым видам страхования производится согласно методикам, ут-

вержденным распоряжением Росстрахнадзора № 02-03-36 от 08.07.93.

Первая методика применяется при следующих условиях:

а) существует статистика либо другая информация по рассматриваемому виду страхования, что

позволяет оценить вероятность наступления страхового случая, среднюю страховую сумму, среднее

возмещение по одному договору страхования;

б) предполагается, что не будет опустошительных событий, когда одно событие влечет за собой

несколько страховых случаев;

в) заранее должно быть известно предполагаемое количество договоров (n) со страхователями.

В этом случае нетто-ставка (Тн) состоит из двух частей – основной части (То) и рисковой надбавки

(Тр):

Тн  То  Тр.

Основой расчета основной части нетто-ставки является убыточность страховой суммы, которая

зависит от вероятности наступления страхового случая и коэффициента тяжести ущерба:

То  р  Кту 100,

где р – вероятность наступления страхового случая, определяемая как отношение числа пострадав-

ших объектов m к числу застрахованных объектов n.

Рисковая надбавка может рассчитываться двумя способами:

а) при наличии статистики о страховых возмещениях и возможности вычисления среднеквадрати-

ческого отклонения возмещений при наступлении страховых случаев (σW) рисковая надбавка рассчиты-

вается как:

n p

W

p

Tp To

W











 

  

()



 ,

где α – коэффициент, зависящий от гарантии безопасности невыполнения возможных страховых

возмещений γ (таблица 1);

б) при отсутствии данных о среднеквадратическом отклонении страхового возмещения рисковая

надбавка определяется:

n p

Tp To p





    1

1,2  ().

Таблица 1 – Значение коэффициента α в зависимости от гарантии безопасности γ

α 0,84 0,90 0,95 0,98 0,9986

γ 1,0 1,3 1,645 2,0 3,0

Вторая методика используется по массовым рисковым видам страхования на основе имеющейся

страховой статистики об убыточности страховой суммы за определенный период времени и прогноза ее

на следующий год. По данной методике основная часть нетто-ставки равна прогнозируемому уровню

убыточности страховой суммы на следующий за анализируемым периодом год:

То = qi*.

Для определения qi* используется модель линейного тренда, согласно которой фактические дан-

ные по убыточности страховой суммы выравниваются на основе линейного уравнения

0 1,

q * a a i i   

где qi* - выровненный показатель убыточности страховой суммы, а0, а1 – параметры линейного

тренда; i – порядковый номер соответствующего года.

Параметры линейного тренда определяются методом наименьших квадратов из системы уравне-

ний:

  

 

    

   

(),

,

0 1

0 1

a i a i q i

a n a i q

i

i

где n – число анализируемых лет.

Данную систему уравнений можно упростить, если начать отсчет лет с середины ряда. Тогда Σi=0,

а система уравнений примет вид:

 



  

 

()

,

a i q n

a n q

i i

i

Отсюда:.

()

; 0 2 

  

 

i

q i

a

n

q

a i

i

Рисковая надбавка определяется в зависимости от среднеквадратического отклонения фактиче-

ских уровней убыточности от выровненных:

Tp     (; n),

где β – коэффициент, зависящий от заданной гарантии безопасности γ (той вероятности, с которой

собранных взносов хватит на выплаты страховых возмещений) и n – числа анализируемых лет (опреде-

ляется по таблице 2); σ – среднеквадратическое отклонение фактических уровней убыточности от вы-

ровненных:

;

(*)2





 

n

q q i i

Таблица 2 - Значения коэффициента β в зависимости от гарантии безопасности (γ) и числа анализируе-

мых лет (n)

n 0,8 0,9 0, γ 9 5 0,975 0,99

3 2,972 6,649 13,640 27,448 68,740

4 1,592 2,829 4,380 6,455 10,448

Продолжение таблицы 2

5 1,184 1,984 2,850 3,854 5,500

6 0,980 1,596 2,219 2,889 3,900

Страховые компании могут также использовать методики расчетов страховых тарифов, обосно-

ванность которых должна быть подтверждена использованием математических методов, учитывающих

специфику страховых операций (финансовую статистику).

В основе расчета нетто-ставки по этим методам лежит убыточность страховой суммы за период,

предшествующий расчетному (обычно за 5 предыдущих лет). Основная u1095 часть нетто-ставки равна сред-

ней убыточности страховой суммы за предшествующий период:

.

n

q

To q i   

Рисковая надбавка:

Tp  t  ,

где t – коэффициент доверия, зависящий от требуемой вероятности, с которой собранных взносов

хватит на выплаты страховых возмещений по страховым случаям (таблица 3); σ – среднеквадратическое

отклонение убыточности страховой суммы за предшествующий период, которое определяется по фор-

муле:

 

.





 

n

q q  i;

n

q

q  i .

Таблица 3 - Значения коэффициента доверия t при разной величине вероятности

Веро-

ят-

ность

0,6827 0,8664 0,9545 0,9876 0,9973 0,9990

t 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,28

Брутто-ставка рассчитывается по формуле:

f

Tб Тн





,

где f – доля нагрузки в брутто-ставке (в долях единицы).

Типовые примеры

Пример № 1

Страховщик проводит страхование от несчастных случаев. Вероятность наступления страхового

случая – 0,05. Средняя страховая сумма – 80 тыс. руб. Среднее страховое возмещение – 30 тыс. руб. Ко-

личество заключенных договоров – 6000. Доля нагрузки в тарифной ставке – 24%. Среднее квадратиче-

ское отклонение – 8 тыс. руб. Определить тарифную ставку при гарантии безопасности 0,95.

Решение. Поскольку в данном случае известны средние страховая сумма и страховое возмещение,

а также среднеквадратическое отклонение по страховым возмещениям, используем методику Росгосст-

рахнадзора.

Основная часть нетто-ставки:

100 1,875

То  р  Кту 100  0,05  30   %.

Рисковая надбавка:

n p

W

p

Tp To

W







 

 

  

()



  =

0,18

6000 0,05

1 0,05 8

1,875 1,645











 

   %.

Нетто-ставка:

Тн  То  Тр  1,875  0,18  2,055 %.

Брутто-ставка:

2,7

1 0,24

2,055











f

Tб Тн %

или 2,7 руб. со 100 руб. страховой суммы.

Пример № 2

Требуется определить нетто-ставку при страховании имущества юридических лиц на основе стра-

ховой статистики за 5 лет с учетом прогнозируемого уровня убыточности страховой суммы на следую-

щий год при заданной гарантии безопасности 0,9. Нагрузка в брутто-ставке составляет 22%.

Показатель Годы

1 2 3 4 5

Фактическая убыточность

страховой суммы, % 2,8 3,2 3,1 3,4 3,6

Решение. Воспользуемся второй методикой расчета u1090 тарифных ставок путем выравнивания данных

по фактической убыточности страховой суммы за последние 5 лет. Для этого следует рассчитать пара-

метры уравнения q a a i i    0 1

*. Расчет сведем в таблицу:

Расчетные

показатели

Го-

ды

Фак-

тиче-

ская

убы-

точ-

ность

(qi), %

Услов-

ное обо-

значе-

ние лет

(i)

q i i 

i2

Вы-

ров-

ненная

убы-

точ-

ность

(qi

*), %

*

i i q  q  * 2

i i q  q

1 2,8 -2 -5,6 4 2,86 -0,06 0,0036

2 3,2 -1 -3,2 1 3,04 0,16 0,0256

3 3,1 0 0 0 3,22 -0,12 0,0144

4 3,4 1 3,4 1 3,40 0 0

5 3,6 2 7,2 4 3,58 0,02 0,044

Ито

го:

16,1 0 1,8 10 16,1

Далее определим параметры уравнения:

0,18.

() 1,8

3,22;

16,1

0 2  



    

 

i

q i

a

n

q

a i

i

Тогда q i i *  3,22  0,18, то есть основная часть нетто-ставки равна выровненной убыточности

страховой суммы для шестого года. В соответствии с принятой нумерацией лет шестой год имеет номер

i = 3:

* 3,22 0,18 3 3,76

3 То  q     %.

Рисковая надбавка требует нахождения среднеквадратического отклонения:

0,105

5 1

0,044

(*)2











 

n

q q i i %,

тогда Tp     (; n)  0,1051,984  0,208 %.

Нетто-ставка складывается из основной части и рисковой надбавки, т.е.

Тн  То  Тр  3,76  0,208  3,968 %.

Задания для самостоятельного решения

Задание № 1

Рассчитайте относительные показатели (коэффициент убыточности, коэффициент кумуляции рис-

ка, вероятность наступления страхового случая, коэффициент тяжести ущерба, убыточность страховой

суммы) по страховой компании, исходя из следующих абсолютных показателей. Число застрахованных

объектов – 2100. Число страховых событий – 86. Число пострадавших объектов – 104. Страховая сумма

всех застрахованных объектов – 3150 млн. руб. Страховая сумма всех пострадавших объектов – 124,8

млн. руб. Страховое возмещение – 42,64 млн. руб. Страховая премия – 47,25 млн. руб.1

Задание № 2

Выберите наименее убыточный регион на основании следующих данных.

1 В страховой статистике приводятся разнообразные сведения. Студент должен уметь «вычленить» из нее необхо-

димые.

В регионе А застраховано 30000 объектов, страховая сумма составляет 150 млн. руб. Число по-

страдавших объектов – 10000 при числе страховых случаев – 8400. Страховое возмещение составляет 2

млн. руб.

В регионе Б застраховано 4000 объектов, страховая сумма составляет 40 млн. руб. Число постра-

давших объектов – 2000 при числе страховых случаев – 1600. Страховое возмещение составляет 3,2 млн.

руб.

Как, по Вашему мнению, будет осуществляться страхование в более убыточном регионе?

Задание № 3

По страховой организации сложились следующие показатели убыточности страховой суммы по

добровольному страхованию домашнего имущества граждан:

Показатель 1 2 Го3д ы 4 5

Убыточность страховой суммы, % 1,2 1,4 1,1 1,5 1,2

Определите методом финансовой статистики:

а) основную часть нетто-ставки;

б) с вероятностью 0,954 рисковую надбавку;

в) нетто-ставку и брутто-ставку при условии, что нагрузка по страхованию домашнего имущества

составляет 26% в брутто-ставке.

Задание № 4

На основе данных, приведенных в таблице, рассчитайте с помощью методики Росстрахнадзора от

08.07.93 № 02-03-36:

а) основную часть нетто-ставки на 100 руб. страховой суммы;

б) рисковую (гарантированную) надбавку при условии гарантии безопасности 0,95;

в) нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;

г) брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы.

Вероятность наступления страхового случая 0,04

Средняя страховая сумма, тыс. руб. 120

Среднее страховое возмещение, тыс. руб. 58

Количество заключенных договоров 1350

Доля нагрузки в структуре тарифа, % 28

Определите страховой взнос страхователя при условии, что страховая сумма равна 100 тыс. руб.

Задание № 5

Рассчитайте на основе данных таблицы тарифную ставку по страхованию от несчастных случаев.

Вероятность наступления риска 0,02

Средняя страховая сумма, тыс. руб. 20

Среднее страховое обеспечение, тыс. руб. 8

Количество договоров, которые предполагается заключить 1100

Доля нагрузки в тарифной ставке, % 26

Среднее квадратическое отклонение страхового обеспечения, тыс. руб. 2,5

Гарантия безопасности 0,95

Задание № 6

Исходные данные по одному из видов страхования имущества юридических лиц приведены в таб-

лице.

Показатель 1 2 Го3д ы 4 5

Убыточность страховой суммы, % 2,0 1,8 2,4 3,0 3,2

Исчислите:

а) основную часть нетто-ставки путем прогноза на основе модели линейного тренда;

б) рисковую надбавку, если вероятность, с которой собранных u1074 взносов хватит на выплаты страхо-

вых возмещений, равна 0,9;

в) нетто-ставку на 100 руб. страховой суммы;

г) брутто-ставку на 100 руб. страховой суммы, если доля нагрузки в структуре тарифа равна 28%;

д) страховой взнос страхователя при условии, что страховая сумма равна 1500 тыс. руб.

Вопросы для повторения

1. Что такое актуарные расчеты? Какие задачи они позволяют решать?

2. На основе чего определяется тарифная ставка в страховании?

3. Из каких элементов она состоит?